Toán 9 Cho đa thức $P(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c$

[fghjkkkkklqwertyuiooopzxcvbnm]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho đa thức P(x)=[tex]x^{3}+ax^{2}+bx+c[/tex]:
a)giả sử đa thức P(x) có 3 nghiệm dương .CMR[tex]b^{2} \geq ac[/tex]
b)tồn tại đa thức P(x) có 3 nghiệm nguyên và [tex]\left | c \right |\leq 2017[/tex] mà [tex]\left | P(34) \right |[/tex]
Là số nguyên tố không

 

[7 1 2 5]

a) Giả sử đa thức có 3 nghiệm dương [TEX]x_1,x_2,x_3[/TEX]
Theo định lí Vi-ét thì [TEX]x_1+x_2+x_3=-a,x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=b, x_1x_2x_3=-c[/TEX]
Mà ta lại có BĐT [TEX](x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)^2 \geq 3x_1x_2x_3(x_1+x_2+x_3) \Rightarrow b^2 \geq 3ac[/TEX]
b) Nếu [TEX]P(x)[/TEX] có 3 nghiệm nguyên [TEX]x_1,x_2,x_3[/TEX] thì [TEX]P(x)=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)[/TEX]
Để [TEX]|P(34)|[/TEX] là số nguyên tố thì phải có [TEX]|34-x_1|=|34-x_2|=1,|34-x_3|[/TEX] là số nguyên tố.
Khi đó dễ chọn được [TEX]x_1=32,x_2=35[/TEX]
Theo định lí Vi-ét thì [TEX]-c=x_1x_2x_3 \Rightarrow |x_1x_2x_3|=|c| \leq 2017 \Rightarrow |x_3| \leq 1[/TEX][tex]\Rightarrow x_3 \in \left \{ -1,0,1 \right \}[/tex]
Xét các trường hợp của [TEX]x_3[/TEX] ta thấy đều không thỏa mãn. Vậy không tồn tại đa thức thỏa mãn đề bài.

Nếu bạn có thắc mắc gì có thể hỏi tại topic này nhé. Chúng mình luôn sẵn sàng hỗ trợ bạn.
Bạn cũng có thể tham khảo một số bài toán khác tại đây.

 

[fghjkkkkklqwertyuiooopzxcvbnm]

anh ơi lớp 9 người ta mới cho dùng viét vơi pt bậc 2 thôi

 

[7 1 2 5]

anh ơi lớp 9 người ta mới cho dùng viét vơi pt bậc 2 thôi

Cái định lí Vi-ét bậc 3 bạn có thể chứng minh bằng cách đồng nhất [TEX]P(x)=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=x^3+ax^2+bx+c[/TEX] rồi nhân bung ra, đồng nhất hệ số nhé.