Cho các số thực x, y, z > 1 thỏa mãn [math]\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \geq 2[/math]. Tìm max: P = (x - 1)(y - 1)(z - 1)
Edgarnguyen248
Ta có [math]\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \geq 2[/math]
[math]\Leftrightarrow \frac{1}{x} \geq 2- \frac{1}{y} -\frac{1}{z}=\frac{y-1}{y}+\frac{z-1}{z} \geq^{cosi} 2\sqrt{\frac{y-1}{y}.\frac{z-1}{z}} [/math]
Tương tự như vậy ta có
[math]\frac{1}{y} \geq 2\sqrt{\frac{x-1}{x}.\frac{z-1}{z}}[/math]
[math]\frac{1}{z} \geq 2\sqrt{\frac{x-1}{x}.\frac{y-1}{y}}[/math]
Từ đó ta có
[math]\frac{1}{xyz} \geq 8 \sqrt{\frac{y-1}{y}.\frac{z-1}{z}.\frac{x-1}{x}.\frac{z-1}{z}.\frac{x-1}{x}.\frac{y-1}{y}}[/math]
[math]\Leftrightarrow (x - 1)(y - 1)(z - 1) \leq \frac{1}{8}[/math]
Dấu bằng xảy ra khi 3 biến bằng 1,5
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
