Toán 8 Cho các số thực dương $x,y,z$ thảo mãn điều kiện $x^2 + y^2 + z^2 = 675$

[truong2008]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho các số thực dương [imath]x,y,z[/imath] thảo mãn điều kiện [imath]x^2 + y^2 + z^2 = 675[/imath]. Tìm GTNN của biểu thức: [imath]P = \dfrac{xy}{z} + \dfrac{yz}{x} + \dfrac{zx}{y}[/imath]

mn giupws e câu cuối vs ạ. Em cảm ơn

 

[Duy Quang Vũ 2007]

[math]P^2=\frac{x^2 y^2}{z^2}+\frac{y^2 z^2}{x^2}+\frac{z^2 x^2}{y^2}+2x^2+2y^2+2z^2[/math] Áp dụng bất đẳng thức Cosi:
[math]\frac{x^2 y^2}{z^2}+\frac{y^2 z^2}{x^2} \geq 2y^2\\ \frac{y^2 z^2}{x^2}+\frac{z^2 x^2}{y^2} \geq 2z^2\\ \frac{z^2 x^2}{y^2}+\frac{x^2 y^2}{z^2} \geq 2x^2[/math]Bạn cộng vào là được nhé.

 

[7 1 2 5]

Áp dụng BĐT [imath](a+b+c)^2 \geq 3(ab+bc+ca)[/imath] ta có:
[imath]P^2=(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}+\dfrac{zx}{y})^2 \geq 3(\dfrac{xy}{z} \cdot \dfrac{yz}{x}+\dfrac{yz}{x} \cdot \dfrac{zx}{y} +\dfrac{zx}{y} \cdot \dfrac{xy}{z})[/imath]
[imath]\Rightarrow P^2 \geq 3(x^2+y^2+z^2)=2025 \Rightarrow P \geq 45[/imath]
Dấu "=" xảy ra khi [imath]x=y=z=15[/imath]

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé. Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại topic này nha
Chuyên đề HSG: Bất đẳng thức