Toán 8 Cho a, b thuộc Z và (a;b) = 1. CMR: a^3 + 1997b^3 không chia hết cho 19

[Gia Ni]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a, b thuộc Z và (a;b) = 1. CMR: a^3 + 1997b^3 không chia hết cho 19

 

[Bách Lý Thiên Song]

Cho a, b thuộc Z và (a;b) = 1. CMR: a^3 + 1997b^3 không chia hết cho 19

Do (a,b)=1 nên không thể có cùng số dư khi chia cho 19.
Mà a^3 khi chia 19 sẽ dư:0,1,7,8,11,12,18(Xét a=19k,19k+-1,19k-2,...)
2b^3 chia 19 sẽ dư:0,2,3,14,16,5,17(nhân 2 lên rồi modun)(1)
Ta có:a^3+1997b^3 chia 19 sẽ dư a^3+2b^3
Để a^3+2b^3 chia hết cho 19 mà số dư của a^3 khi chia 19 là:0,1,7,8,11,12,18. thì số dư của 2b^3 phải là:0,18,11,12,8,7,1(2)
Mà cặp số 0,0 không thỏa mãn vì do (*).
Từ điều trên kết hợp (1)(2)=>a^3+2b^3 không chia hết cho 19 với (a,b)=1