Toán Cho a, b, c là 3 số thực dương thõa mãn abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

[haror]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a, b, c là 3 số thực dương thõa mãn abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

S=$\frac{a^2}{(ab+2)(2ab+1)}$+$\frac{b^2}{(bc+2)(2bc+1)}$+$\frac{c^2}{(ac+2)(2ac+1)}$

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

[tex]Min \ S=\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow a=b=c=1[/tex] nha bạn

 

[batman1907]

Cho a, b, c là 3 số thực dương thõa mãn abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

S=$\frac{a^2}{(ab+2)(2ab+1)}$+$\frac{b^2}{(bc+2)(2bc+1)}$+$\frac{c^2}{(ac+2)(2ac+1)}$

Đặt $a=\dfrac{x}{y},b=\dfrac{y}{z},c=\dfrac{z}{x}$
Khi đó thay vào và áp dụng bất đẳng thức Schwarz ta có:
$S=\sum \dfrac{x^{2}}{(y+2z)(z+2y)}=\sum \dfrac{x^{4}}{x^{2}(y+2z)(z+2y)}\geq \dfrac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}{4\sum x^{2}y^{2}+5xyz(x+y+z)}$
Ta chứng minh:
$\dfrac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}{4\sum x^{2}y^{2}+5xyz(x+y+z)}\geq \dfrac{1}{3}$
$\Leftrightarrow 3(x^{4}+y^{4}+z^{4})\geq 5xyz(x+y+z)-2\sum x^{2}y^{2}$
Bất đẳng thức này luôn đúng vì:
$3\sum x^{4}\geq 3\sum x^{2}y^{2}=5\sum x^{2}y^{2}-2\sum x^{2}y^{2}\geq 5xyz(x+y+z)-2\sum x^{2}y^{2}$
Vậy ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra$\Leftrightarrow x=y=z\Rightarrow a=b=c=1$

 

[haror]

Đặt $a=\dfrac{x}{y},b=\dfrac{y}{z},c=\dfrac{z}{x}$
Khi đó thay vào và áp dụng bất đẳng thức Schwarz ta có:
$S=\sum \dfrac{x^{2}}{(y+2z)(z+2y)}=\sum \dfrac{x^{4}}{x^{2}(y+2z)(z+2y)}\geq \dfrac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}{4\sum x^{2}y^{2}+5xyz(x+y+z)}$
Ta chứng minh:
$\dfrac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}{4\sum x^{2}y^{2}+5xyz(x+y+z)}\geq \dfrac{1}{3}$
$\Leftrightarrow 3(x^{4}+y^{4}+z^{4})\geq 5xyz(x+y+z)-2\sum x^{2}y^{2}$
Bất đẳng thức này luôn đúng vì:
$3\sum x^{4}\geq 3\sum x^{2}y^{2}=5\sum x^{2}y^{2}-2\sum x^{2}y^{2}\geq 5xyz(x+y+z)-2\sum x^{2}y^{2}$
Vậy ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra$\Leftrightarrow x=y=z\Rightarrow a=b=c=1$

có cách nào khác không bạn