Cho a, b, c > 0 và [math]a + b + c = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}[/math]. Chứng minh rằng: [math]\sqrt{\frac{a^3}{1+3bc}} + \sqrt{\frac{b^3}{1+3ca}} + \sqrt{\frac{c^3}{1+3ab}} \geq \dfrac{3}{2}[/math]
doanhnhannguyenthinh@gmail.com
Nhân cả 2 vế cho abc ta có: [imath]abc(a+b+c)=ab+bc+ca[/imath]
Ta có: [imath](a+b+c)^2\ge 3(ab+bc+ca)\Rightarrow (a+b+c)^2\ge 3abc(a+b+c)[/imath]
[imath]\Rightarrow a+b+c\ge 3abc[/imath]
[imath]P=\sqrt{\dfrac{a^3}{1+3bc}}+\sqrt{\dfrac{b^3}{1+3ac}}+\sqrt{\dfrac{c^3}{1+3ab}}=\sqrt{\dfrac{a^4}{a+3abc}}+\sqrt{\dfrac{b^4}{b+3abc}}+\sqrt{\dfrac{c^4}{c+3abc}}[/imath]
[imath]\ge \dfrac{a^2}{\sqrt{2a+b+c}}+\dfrac{b^2}{\sqrt{a+2b+c}}+\dfrac{c^2}{\sqrt{a+b+2c}}\ge \dfrac{(a+b+c)^2}{\sqrt{2a+b+c}+\sqrt{a+2b+c}+\sqrt{a+b+2c}}[/imath]
Mà [imath]\sqrt{2a+b+c}+\sqrt{a+2b+c}+\sqrt{a+b+2c}\le \sqrt{12(a+b+c)}[/imath] (bunhiaxcopki)
Suy ra [imath]P\ge \dfrac{(a+b+c)^2}{ \sqrt{12(a+b+c)}}=\dfrac{(a+b+c)\sqrt{a+b+c}}{\sqrt{12}}[/imath]
[imath]a+b+c=\dfrac{1}a+\dfrac{1}b+\dfrac{1}c\ge \dfrac{9}{a+b+c}\Rightarrow a+b+c\ge 3[/imath]
Suy ra [imath]P\ge\dfrac{3}2[/imath]
Có gì khúc mắc em hỏi lại nhé
Ngoài ra em xem thêm tại
[Lý thuyết] Chuyên đề HSG : Bất đẳng thức
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
