BĐT bổ đề: Với $x,y>0$ ta luôn có [tex]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}[/tex] (BĐT này khá quen thuộc nên mình không chứng minh lại)
Dấu = xảy ra khi $x=y$
Áp dụng BĐT bổ đề ta có:
[tex]D=\frac{3}{b+c-a}+\frac{4}{a+c-b}+\frac{5}{a+b-c} \\=\left ( \frac{1}{b+c-a} +\frac{1}{a+c-b}\right )+2\left ( \frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+b-c} \right )+3\left ( \frac{1}{a+c-b}+\frac{1}{a+b-c} \right )\\\geq \frac{4}{b+c-a+a+c-b}+2.\frac{4}{b+c-a+a+b-c}+3.\frac{4}{a+c-b+a+b-c}\\=\frac{2}{c}+\frac{4}{b}+\frac{6}{a}\\=\frac{2b+4c}{bc}+\frac{6}{a}\\=\frac{2abc}{bc}+\frac{6}{a}\\=2a+\frac{6}{a}\\\geq 4\sqrt{3}[/tex]
Dấu = xảy ra khi [tex]a=b=c=\sqrt{3}[/tex]