Toán 9 Cho $a,b,c.0$ và $2c+b=abc$. Tìm GTNN của $D=\frac{3}{b+c-a}+\frac{4}{a+c-b}+\frac{5}{a+b-c}$

[Cứu mạng@@]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

ĐK:a,b,c>0
Cho 2c+b=abc.Tìm min D=[tex]\frac{3}{b+c-a}+\frac{4}{a+c-b}+\frac{5}{a+b-c}[/tex]

 

[Ann Lee]

ĐK:a,b,c>0
Cho 2c+b=abc.Tìm min D=[tex]\frac{3}{b+c-a}+\frac{4}{a+c-b}+\frac{5}{a+b-c}[/tex]

BĐT bổ đề: Với $x,y>0$ ta luôn có [tex]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}[/tex] (BĐT này khá quen thuộc nên mình không chứng minh lại)
Dấu = xảy ra khi $x=y$
Áp dụng BĐT bổ đề ta có:
[tex]D=\frac{3}{b+c-a}+\frac{4}{a+c-b}+\frac{5}{a+b-c} \\=\left ( \frac{1}{b+c-a} +\frac{1}{a+c-b}\right )+2\left ( \frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+b-c} \right )+3\left ( \frac{1}{a+c-b}+\frac{1}{a+b-c} \right )\\\geq \frac{4}{b+c-a+a+c-b}+2.\frac{4}{b+c-a+a+b-c}+3.\frac{4}{a+c-b+a+b-c}\\=\frac{2}{c}+\frac{4}{b}+\frac{6}{a}\\=\frac{2b+4c}{bc}+\frac{6}{a}\\=\frac{2abc}{bc}+\frac{6}{a}\\=2a+\frac{6}{a}\\\geq 4\sqrt{3}[/tex]
Dấu = xảy ra khi [tex]a=b=c=\sqrt{3}[/tex]