Toán 9 Cho a, b, c > 0 thỏa mãn

[Edgarnguyen248]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a, b, c > 0 thỏa mãn [math]abc(a + b + c)^3 = 1[/math]. Tìm min: T = (a + b)(b + c)(c + a)

 

[Edgarnguyen248]

[math]T = (a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + bc + ca) - abc[/math]Sử dụng BĐT AM - GM ta có:
[math]a + b + c \geq 3.\sqrt{abc} \Rightarrow 1 = abc(a + b + c)^3 = 27(abc)^2 \Rightarrow abc \leq \frac{1}{3.\sqrt{3}}[/math]Ta có:
[math](ab + bc + ca)^2 \geq 3abc(a + b + c) \Rightarrow (a + b + c)^2.(ab + bc + ca)^2 \geq 3abc(a + b + c)^3 = 3 \Rightarrow (a + b + c)(ab + bc + ca) \geq \sqrt{3}[/math]Từ đó, suy ra:
[math]T \geq \sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{8.\sqrt{3}}{9}[/math]Dấu đẳng thức xảy ra khi: [math]a = b = c = \frac{1}{\sqrt[6]{27}}[/math]