Toán 8 Cho a,b,c >0 thỏa a+b+c=1 CMR: [tex]\frac{a+b}{abc}\geq 16[/tex]

[Tríp Bô Hắc]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1.a) Cho a,b,c >0 thỏa a+b+c=1
CMR: [tex]\frac{a+b}{abc}\geq 16[/tex]
b). Cho x>1, y>1. CM: [tex]\frac{x^{2}}{y-1}+\frac{y^{2}}{x-1}\geq 8[/tex]
2. Cho M = [tex]\frac{yz\sqrt{x-1}+xz\sqrt{y-2}+xy\sqrt{z-3}}{xyz}[/tex]
với [tex]x\geq1, y\geq2, z\geq3[/tex] . Chứng minh: [tex]M\leq \frac{1}{2}(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}})[/tex]
3 a). CMR: với mọi số a,b ta đều có: [tex]\frac{-1}{2}\leq \frac{(a+b)(1-ab)}{(1+a^{2})(1+b^{2})}\leq \frac{1}{2}[/tex]
b) Cho a,b,x,y>0. Chứng minh: [tex]\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geq 2[/tex] và [tex](a.\frac{x}{y}+b)^{2}+(a.\frac{y}{x}+b)^{2}\geq 2(a+b)^{2}[/tex]
4. Cho a,b>0. Chứng minh: [tex]\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\leq \sqrt[4]{ab}[/tex]
5. Cho [tex]a\geq 1,b\geq 1[/tex]. Chứng minh: [tex]a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\leq ab[/tex]

Mình cần gấp. Giúp với, giúp với ạ!!!

 

[Ann Lee]

Lưu ý:

1. Vui lòng đọc thật kĩ các bước trước khi hỏi!
2. Cả 5 bài dưới đây đều dùng đến BĐT Cô-si. nếu không biết BĐT Cô-si là gì xin vui lòng tra mạng để biết thêm thông tin chi tiết.
3. Nếu không biết dấu = xảy ra làm thế nào thì vui lòng xem dấu = của BĐT Cô-si xảy ra khi nào và áp dụng.

1.a) Cho a,b,c >0 thỏa a+b+c=1
CMR: [tex]\frac{a+b}{abc}\geq 16[/tex]
b). Cho x>1, y>1. CM: [tex]\frac{x^{2}}{y-1}+\frac{y^{2}}{x-1}\geq 8[/tex]

a) [tex](a+b)=(a+b)[(a+b)+c]^2\geq (a+b).4(a+b)c=(a+b)^2.4c\geq 4ab.4c=16abc\Rightarrow \frac{a+b}{abc}\geq 16[/tex]
Dấu = xảy ra khi [tex]a=b=\frac{1}{4};c=\frac{1}{2}[/tex]

b) [tex]\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\\=\left [ \frac{x^2}{y-1}+4(y-1) \right ]+\left [ \frac{y^2}{x-1}+4(x-1) \right ]+8-4(x+y)\\\geq 2\sqrt{ \frac{x^2}{y-1}.4(y-1)}+2\sqrt{ \frac{y^2}{x-1}.4(x-1)}+8-4(x+y)\\=4x+4y+8-4(x+y)\\=8[/tex]
Dấu = xảy ra khi [TEX]x=y=2[/TEX]

2. Cho M = [tex]\frac{yz\sqrt{x-1}+xz\sqrt{y-2}+xy\sqrt{z-3}}{xyz}[/tex]
với [tex]x\geq1, y\geq2, z\geq3[/tex] . Chứng minh: [tex]M\leq \frac{1}{2}(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}})[/tex]

[tex]M=\frac{yz\sqrt{x-1}+xz\sqrt{y-2}+xy\sqrt{z-3}}{xyz}\\=\frac{\sqrt{x-1}}{x}+\frac{\sqrt{y-2}}{y}+\frac{\sqrt{z-3}}{z}\\=\frac{2\sqrt{1.(x-1)}}{2x}+\frac{2\sqrt{2(y-2)}}{2\sqrt{2}y}+\frac{2\sqrt{3(z-3)}}{2\sqrt{3}z}\\\leq \frac{1+x-1}{2x}+\frac{2+y-2}{2\sqrt{2}y}+\frac{3+z-3}{2\sqrt{3}z}\\=\frac{1}{2}+\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{3}}\\=\frac{1}{2}(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}})[/tex]
Dấu = xảy ra khi[TEX]x=2;y=4;z=6[/TEX]

3 a). CMR: với mọi số a,b ta đều có: [tex]\frac{-1}{2}\leq \frac{(a+b)(1-ab)}{(1+a^{2})(1+b^{2})}\leq \frac{1}{2}[/tex]
b) Cho a,b,x,y>0. Chứng minh: [tex]\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geq 2[/tex] và [tex](a.\frac{x}{y}+b)^{2}+(a.\frac{y}{x}+b)^{2}\geq 2(a+b)^{2}[/tex]

a) Đặt [tex]A=\frac{(a+b)(1-ab)}{(1+a^{2})(1+b^{2})}[/tex]
Ta có [tex]\left | A \right |=\frac{\left | (a+b)(1-ab) \right |}{(1+a^{2})(1+b^{2})}=\frac{\left | (a+b)(1-ab) \right |}{1+a^2+b^2+a^2b^2}=\frac{\left | (a+b)(1-ab) \right |}{(a+b)^2+(1-ab)^2}\leq \frac{\left | (a+b)(1-ab) \right |}{2\sqrt{(a+b)^2.(1-ab)^2}}=\frac{\left | (a+b)(1-ab) \right |}{2\left | (a+b)(1-ab) \right |}=\frac{1}{2}\\\Rightarrow \frac{-1}{2}\leq A\leq \frac{1}{2}[/tex]
Dấu = của min tại [TEX]a+b=ab-1[/TEX] của max tại [TEX]a+b=1-ab[/TEX]

b) [tex]\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geq 2\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{x}}=2[/tex]
Dấu = xảy ra khi [TEX]x=y[/TEX]
[tex](a.\frac{x}{y}+b)^{2}+(a.\frac{y}{x}+b)^{2}\\=a^2.\frac{x^2}{y^2}+2ab.\frac{x}{y}+b^2+a^2.\frac{y^2}{x^2}+2ab.\frac{y}{x}+b^2\\=a^2.\left ( \frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2} \right )+2ab.\left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \right )+2b^2\\\geq a^2.2\sqrt{\frac{x^2}{y^2}.\frac{y^2}{x^2}}+2ab.2+2b^2\\=2a^2+4ab+2b^2\\=2(a+b)^2[/tex]
Dấu = xảy ra khi [TEX]x=y[/TEX]

4. Cho a,b>0. Chứng minh: [tex]\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\leq \sqrt[4]{ab}[/tex]

[tex]\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\leq \frac{2\sqrt{ab}}{2\sqrt{\sqrt{a}.\sqrt{b}}}=\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt[4]{ab}}=\sqrt[4]{ab}[/tex]
Dấu = xảy ra khi [TEX]a=b[/TEX]

5. Cho [tex]a\geq 1,b\geq 1[/tex]. Chứng minh: [tex]a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\leq ab[/tex]

[tex]a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}=a.\sqrt{1(b-1)}+b.\sqrt{1(a-1)}\leq a.\frac{1+b-1}{2}+b.\frac{1+a-1}{2}=\frac{ab}{2}+\frac{ab}{2}=ab[/tex]
Dấu = xảy ra khi [TEX]a=b=2[/TEX]

 

[Tríp Bô Hắc]

Lưu ý:

1. Vui lòng đọc thật kĩ các bước trước khi hỏi!
2. Cả 5 bài dưới đây đều dùng đến BĐT Cô-si. nếu không biết BĐT Cô-si là gì xin vui lòng tra mạng để biết thêm thông tin chi tiết.
3. Nếu không biết dấu = xảy ra làm thế nào thì vui lòng xem dấu = của BĐT Cô-si xảy ra khi nào và áp dụng.

a) [tex](a+b)=(a+b)[(a+b)+c]^2\geq (a+b).4(a+b)c=(a+b)^2.4c\geq 4ab.4c=16abc\Rightarrow \frac{a+b}{abc}\geq 16[/tex]
Dấu = xảy ra khi [tex]a=b=\frac{1}{4};c=\frac{1}{2}[/tex]

b) [tex]\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\\=\left [ \frac{x^2}{y-1}+4(y-1) \right ]+\left [ \frac{y^2}{x-1}+4(x-1) \right ]+8-4(x+y)\\\geq 2\sqrt{ \frac{x^2}{y-1}.4(y-1)}+2\sqrt{ \frac{y^2}{x-1}.4(x-1)}+8-4(x+y)\\=4x+4y+8-4(x+y)\\=8[/tex]
Dấu = xảy ra khi [TEX]x=y=2[/TEX]

[tex]M=\frac{yz\sqrt{x-1}+xz\sqrt{y-2}+xy\sqrt{z-3}}{xyz}\\=\frac{\sqrt{x-1}}{x}+\frac{\sqrt{y-2}}{y}+\frac{\sqrt{z-3}}{z}\\=\frac{2\sqrt{1.(x-1)}}{2x}+\frac{2\sqrt{2(y-2)}}{2\sqrt{2}y}+\frac{2\sqrt{3(z-3)}}{2\sqrt{3}z}\\\leq \frac{1+x-1}{2x}+\frac{2+y-2}{2\sqrt{2}y}+\frac{3+z-3}{2\sqrt{3}z}\\=\frac{1}{2}+\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{3}}\\=\frac{1}{2}(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}})[/tex]
Dấu = xảy ra khi[TEX]x=2;y=4;z=6[/TEX]

a) Đặt [tex]A=\frac{(a+b)(1-ab)}{(1+a^{2})(1+b^{2})}[/tex]
Ta có [tex]\left | A \right |=\frac{\left | (a+b)(1-ab) \right |}{(1+a^{2})(1+b^{2})}=\frac{\left | (a+b)(1-ab) \right |}{1+a^2+b^2+a^2b^2}=\frac{\left | (a+b)(1-ab) \right |}{(a+b)^2+(1-ab)^2}\leq \frac{\left | (a+b)(1-ab) \right |}{2\sqrt{(a+b)^2.(1-ab)^2}}=\frac{\left | (a+b)(1-ab) \right |}{2\left | (a+b)(1-ab) \right |}=\frac{1}{2}\\\Rightarrow \frac{-1}{2}\leq A\leq \frac{1}{2}[/tex]
Dấu = của min tại [TEX]a+b=ab-1[/TEX] của max tại [TEX]a+b=1-ab[/TEX]

b) [tex]\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geq 2\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{x}}=2[/tex]
Dấu = xảy ra khi [TEX]x=y[/TEX]
[tex](a.\frac{x}{y}+b)^{2}+(a.\frac{y}{x}+b)^{2}\\=a^2.\frac{x^2}{y^2}+2ab.\frac{x}{y}+b^2+a^2.\frac{y^2}{x^2}+2ab.\frac{y}{x}+b^2\\=a^2.\left ( \frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2} \right )+2ab.\left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \right )+2b^2\\\geq a^2.2\sqrt{\frac{x^2}{y^2}.\frac{y^2}{x^2}}+2ab.2+2b^2\\=2a^2+4ab+2b^2\\=2(a+b)^2[/tex]
Dấu = xảy ra khi [TEX]x=y[/TEX]


[tex]\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\leq \frac{2\sqrt{ab}}{2\sqrt{\sqrt{a}.\sqrt{b}}}=\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt[4]{ab}}=\sqrt[4]{ab}[/tex]
Dấu = xảy ra khi [TEX]a=b[/TEX]


[tex]a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}=a.\sqrt{1(b-1)}+b.\sqrt{1(a-1)}\leq a.\frac{1+b-1}{2}+b.\frac{1+a-1}{2}=\frac{ab}{2}+\frac{ab}{2}=ab[/tex]
Dấu = xảy ra khi [TEX]a=b=2[/TEX]

Em đã đọc rất kĩ và có 2 câu muốn hỏi chị là:
Câu 1 tại sao [tex](a+b)=(a+b)[(a+b)+c]^2\geq (a+b).4(a+b)c[/tex]
Câu 4 tại sao[tex]\frac{2\sqrt{ab}}{2\sqrt{\sqrt{a}.\sqrt{b}}}=\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt[4]{ab}}=\sqrt[4]{ab}[/tex] thế ạ?

 

[Ann Lee]

Em đã đọc rất kĩ và có 2 câu muốn hỏi chị là:
Câu 1 tại sao [tex](a+b)=(a+b)[(a+b)+c]^2\geq (a+b).4(a+b)c[/tex]
Câu 4 tại sao[tex]\frac{2\sqrt{ab}}{2\sqrt{\sqrt{a}.\sqrt{b}}}=\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt[4]{ab}}=\sqrt[4]{ab}[/tex] thế ạ?

Okayy
Câu 1:
Vì $a+b+c=1$ nên [TEX](a+b)=(a+b)[(a+b)+c]^2[/TEX]
Theo BĐT Cô-si ta có:
[tex](a+b)+c\geq 2\sqrt{(a+b)c}\Rightarrow [(a+b)+c]^2\geq 4(a+b)c[/tex]
Nên [tex](a+b)=(a+b)[(a+b)+c]^2\geq (a+b).4(a+b)c[/tex]

Câu 4:
Đâu chỉ là biến đổi căn thức cơ bản.
Em cần nhớ với $x\geq 0$ thì
[tex]\sqrt{\sqrt{x}}=\sqrt[4]{x}[/tex] và [tex]\sqrt{x}=\sqrt[4]{x^2}=\sqrt[4]{x}.\sqrt[4]{x}[/tex]
Rồi em sẽ hiểu được những bước biến đổi đó.