Cho $a,b,c>0$ biết $a+b+c=1$. Tìm GTLN của $P=\frac{3a}{a+bc}+\frac{4b}{b+ca}+\frac{6c}{c+ab} $

V

vodichhocmai

Chúng ta sẽ chứng minh

[TEX]\frac{3a}{(a+b)(a+c)}+\frac{4b}{(b+c)(b+a)}+\frac{6c}{(c+a)(c+b)} \le \frac{81}{8}[/TEX]

[TEX] \rightarrow 3a(b+c)+4b(c+a)+6c(a+b) \le \frac{81}{8}\( ab+bc+ca -abc)[/TEX]

[TEX] \rightarrow 7ab+10bc+9ca\le \frac{81}{8}\( ab+bc+ca -abc)[/TEX]

[TEX] \rightarrow \frac{1}{a}+\frac{9}{b}+\frac{25}{c} \ge 81[/TEX]

Bất đẳng cuối cùng luôn đúng theo [TEX]Cauchy-Schwraz[/TEX]. Đẳng thức xảy ra khi

[TEX]a=\frac{1}{9} \ \ b=\frac{1}{3} \ \ c=\frac{5}{9}[/TEX]
 
Q

quangcanh2975

Anh cho em hỏi tại sao mình có thể định hướng được như thế không? Em đã làm nhiều bài tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất nhưng không thể định hướng như anh được. Anh giúp em với! Cảm ơn anh!
 
Last edited by a moderator:
You must log in or register to reply here.
Top Bottom