Cho a,b> 0 và $a+b\leq 1$ CMR: $\frac{1}{a^2+b^2} + \frac{1}{ab} + 4ab \geq 7$

[maimaiiung]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho a,b> 0 và $a+b$\leq $1$ CMR:
$\frac{1}{a^2+b^2} + \frac{1}{ab} + 4ab$ \geq $7$

2.Cho a+b+c=3
CMR: $\sqrt{a^2 -a +1} + \sqrt{b^2 -b +1} + \sqrt{c^2 - c +1}$ \geq$ 3$

3. Cho tam giác ABC nhọn. Tìm GTLN của:
$T=\frac{A}{B}sinB + \frac{B}{C}sinC + \frac{C}{A}sinA$

4. Cho tam giác ABC nhọn. Tìm GTLN của:
$T=(1+sin^2A)(1+sin^2B)(1+sin^2C)$

 

[trang_dh]

1. Cho a,b> 0 và $a+b$\leq $1$ CMR:
$\frac{1}{a^2+b^2} + \frac{1}{ab} + 4ab$ \geq $7$
giải:

$\frac{1}{a^2+b^2} + \frac{1}{ab} + 4ab=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{4ab}+4ab+\frac{1}{4ab}$

áp dụng bđt:
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ \geq $\frac{4}{x+y}$ vs x,y>0
(dấu = xr\Leftrightarrowx=y)

ta được:
$\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}$ \geq $\frac{4}{(a+b)^2}$ \geq$ \frac{4}
{1}=4$(1)

cauchy


$\frac{1}{4ab}+4ab$\geq 2 (2)

ab\leq$\frac{(a+b)^2}{4}$\Rightarrow$\frac{1}{4ab}$\geq1(3)

cộng 1,2,3 theo vế\Rightarrowđpcm

(dấu = xr\Leftrightarrowa=b=1/2)

 

[conga222222]

1. Cho a,b> 0 và $a+b$\leq $1$ CMR:
$\frac{1}{a^2+b^2} + \frac{1}{ab} + 4ab$ \geq $7$

2.Cho a+b+c=3
CMR: $\sqrt{a^2 -a +1} + \sqrt{b^2 -b +1} + \sqrt{c^2 - c +1}$ \geq$ 3$

3. Cho tam giác ABC nhọn. Tìm GTLN của:
$T=\frac{A}{B}sinB + \frac{B}{C}sinC + \frac{C}{A}sinA$

4. Cho tam giác ABC nhọn. Tìm GTLN của:
$T=(1+sin^2A)(1+sin^2B)(1+sin^2C)$

câu 2:
bất đẳng thức sử dụng là bunhiacopski và tính chất của trị tuyệt đối

\[\begin{array}{l}
\sqrt {{a^2} - a + 1} = \sqrt {{{\left( {a - \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{4}} \\
\sqrt {\left( {{{\left( {a - \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{4}} \right)\left( {\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} \right)} \ge \left| {\frac{{2a - 1}}{4}} \right| + \frac{3}{4} \ge \frac{{2a + 2}}{4}
\end{array}\]

tương tự cho 2 con sau rồi cộng lại là ra