Đặt [TEX]x=2^a,y=b^a (x>y)[/TEX]
Ta có [TEX]P=\frac{xy}{(x-y)^2}+\frac{x+2y}{2y}=\frac{1}{4}.\frac{4xy}{(x-y)^2}+\frac{x+2y}{2y}=\frac{1}{4}(\frac{(x+y)^2}{(x-y)^2}-1)+\frac{x}{2y}+1[/TEX]
Đặt [TEX]t=\frac{x+y}{x-y} >1[/TEX] thì [TEX]x+y=t(x-y) \Rightarrow (t-1)x=(t+1)y \Rightarrow \frac{x}{y}=\frac{t+1}{t-1}[/TEX]
Từ đó [TEX]P=\frac{1}{4}t^2-\frac{1}{4}+\frac{t+1}{2(t-1)}+1=\frac{1}{4}t^2+\frac{1}{t-1}+\frac{5}{4}[/TEX]
Xét [TEX]P=f(t)[/TEX] với [TEX]t \in (1,+\infty)[/TEX]
[TEX]f'(t)=\frac{t}{2}-\frac{1}{(t-1)^2}=\frac{(t-2)(t^2+1)}{2(t^2+1)}[/TEX]
Ta có bảng biến thiên như sau:
[TEX]
\begin{array}{c|ccccc}
x & 1 & & 2 & & +\infty \\
\hline
y' & & - & 0 & + & \\
\hline
y & +\infty & & & & +\infty \\
& & \searrow & & \nearrow & \\
& & & \dfrac{13}{4} & &
\end{array}
[/TEX]
Từ đó [TEX]\min P=\frac{13}{4}[/TEX]. Dấu "=" xảy ra tại [TEX]t=2 \Leftrightarrow x=3y \Leftrightarrow (\frac{2}{b})^a=3 \Leftrightarrow b=\frac{2}{\log _{a}3}[/TEX].
Nếu bạn có thắc mắc gì có thể hỏi tại topic này nhé. Chúng mình luôn sẵn sàng hỗ trợ bạn.
Bạn cũng có thể tham khảo một số bài toán khác tại đây.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
