Toán 9 Cho 4 số thực dương a, b, c, d thỏa mãn a+b+c+d=4

AlexisBorjanov

Học sinh chăm học
Thành viên
23 Tháng tư 2020
773
734
121
Hà Nội
Earth
  • Like
Reactions: Timeless time

kido2006

TMod Toán
Cu li diễn đàn
26 Tháng một 2018
1,484
1
2,364
266
Bắc Ninh
THPT Chuyên Bắc Ninh
Cho 4 số thực dương a, b, c, d thỏa mãn a+b+c+d=4.
CMR [tex]\frac{1}{ab}+\frac{1}{cd}\geq \frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{2}[/tex]
@Mộc Nhãn @Timeless time @Cáp Ngọc Bảo Phương Nhờ các anh chị chỉ giúp em với ạ.
Em xin cảm ơn!
Không mất tính tổng quát ta giả sử $a \ge b \ge c \ge d > 0$

Trước tiên ta đi chứng minh BĐT phụ sau : [tex]x^2+y^2 \leq \dfrac{(x+y)^4}{8xy}[/tex] với x,y là các số thực dương
[tex]\Leftrightarrow (x-y)^4\geq 0[/tex] (điều này luôn đúng)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y$

Áp dụng cho bài toán ta được
[tex]a^2+b^2+c^2+d^2\leq \dfrac{(a+c)^4}{8ac}+\dfrac{(b+d)^4}{8bd}=\dfrac{(a+c)^4.4bd}{32abcd}+\dfrac{(b+d)^4.4ac}{32abcd}\\ \leq \dfrac{(a+c)^4.(b+d)^2}{32abcd}+\dfrac{(b+d)^4.(a+c)^2}{32abcd}=\dfrac{(a+c)^2.(b+d)^2}{32abcd}.\left ( (a+c)^2+(b+d)^2 \right )\\ \leq \dfrac{(a+c)^2.(b+d)^2}{32abcd}.\dfrac{(a+b+c+d)^4}{8(a+c)(b+d)}=\dfrac{(a+c)(b+d)}{abcd}\\ \leq ^{Chebyshev} \dfrac{2(ab+cd)}{abcd}=\dfrac{2}{ab}+\dfrac{2}{cd}[/tex]

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=d=1$


Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^
Chúc bạn học tốt ^^
 
Top Bottom