cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn a^2+b^2+c^2=3

B

bason

tớ làm theo hướng này, mọi người xem giúp nhé! vẫn chưa ra nhưng t nghĩ nó có vẻ đúng:
đặt [TEX]A= \frac{a}{sqrt{b}}+\frac{b}{sqrt{c}}+\frac{c}{sqrt{a}}[/TEX]
bình phương A lên t có:
[TEX]A^2 = \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+2\frac{asqrt{b}}{sqrt{c}}+2\frac{bsqrt{c}}{sqrt{a}}+2\frac{csqrt{a}}{sqrt{b}}[/TEX]

Áp dụng cosi cho 4 số ta có:
[TEX]\frac{a^2}{b}+\frac{a sqrt{b}}{sqrt{c}}+\frac{a sqrt{b}}{sqrt{c}}+c\geq 4a[/TEX]
[TEX]\frac{b^2}{c}+\frac{b sqrt{c}}{sqrt{a}}+\frac{b sqrt{c}}{sqrt{a}}+a\geq4b[/TEX]
[TEX]\frac{c^2}{a}+\frac{c sqrt{a}}{sqrt{b}}+\frac{c sqrt{a}}{sqrt{b}}+b\geq4c[/TEX]
cộng vế với vế t có:
[TEX]A^2+a+b+c\geq4(a+b+c)[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]A^2\geq3(a+b+c)[/TEX] (gọi đây là (1))

ta cũng có thể chứng minh dễ dàng ab+bc+ca\leq a^2+b^2+c^2=3

suy ra vấn đề bây giờ là chứng minh cho a+b+c\geq3 để A^2\geq9 và suy ra A\geq3....
đến đây t đã sai đâu đó....
 
B

bason

up!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
 
G

godlove_youme1

y cau la cau tinh la theo huong do'? ma` a+b+c<=3 ro`i di theo huong do nua~ thi`....
 
B

bason

theo hướng đó chắc k ra đc. tớ chả nghĩ ra hướng nào nữa cả. viết nhiều spam,mình trình bày ý mình vs mọi ng thôi. bài này khoai quá!
 
T

thienvamai

có
[TEX]2(a^2+b^2+c^2)=a^2+1+b^2+1+c^2+1\geq 2a+2b+2c[/TEX]
[TEX]\Rightarrow a^2+b^2+c^2 \geq a+b+c[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 2(a^2+b^2+c^2)\geq a^2+b^2+c^2+a+b+c\geq 2a\sqrt{b}+2b\sqrt{c}+2c\sqrt{a}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow a^2+b^2+c^2 \geq a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 3(\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{c}}+\frac{c}{\sqrt{a}}\geq (a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a})(\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{c}}+\frac{c}{\sqrt{a}} \geq (a+b+c)^2\geq 3(ac+bc+ac)[/TEX]
\Rightarrow đpcm
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom