Toán 12 [Chia sẻ] Phương pháp ghép trục trong bài toán hàm hợp $y=f(u(x))$

Kaito Kidㅤ

Học sinh tiêu biểu
Thành viên
16 Tháng tám 2018
2,350
5,145
596
17
Hải Phòng
THPT Tô Hiệu
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chào các bạn :rongcon12, trong các đề thi THPTQG, các đề thi thử của các trường, sở, ..., các bạn sẽ thường xuyên bắt gặp rất nhiều bài toán liên quan đến hàm hợp mà các bạn giải theo cách thông dụng nó sẽ "đốt" rất nhiều thời gian của bạn :rongcon11. Hôm nay mình viết bài này để chia sẻ cho các bạn "Phương pháp ghép trục trong bài toán hàm hợp" (Được sáng tạo bởi anh Sơn Hoàng 2k1). Đây là một phương pháp rất "mạnh" :rongcon5 giúp các bạn có thể tiết kiệm rất nhiều thời gian để khoanh trắc nghiệm thay vì những cách làm thủ công dài dòng và tốn nhiều thời gian :D.

I. Lý thuyết về phương pháp ghép trục trong bài toán hàm hợp [imath]y=f\Big(u(x)\Big)[/imath]

Mục đích của phương pháp này là vẽ được bảng biến thiên của hàm [imath]y=f\Big(u(x)\Big)[/imath]

Giới hạn: Đề cho [imath]f(x)[/imath] hoặc có thể biến đổi đi một xíu, bắt ta tìm số nghiệm thực của phương trình [imath]f\Big(u(x)\Big)=x_0[/imath], biện luận số nghiệm [imath]f\Big(u(x)\Big)=f(m)[/imath], bắt ta tìm GTNN. GTLN trên khoảng, đoạn, tìm số cực trị, giá trị cực trị,... của hàm số [imath]y=f\Big(u(x)\Big)[/imath]

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số [imath]y=f\Big(u(x)\Big)[/imath]

Bước 2: Lập bảng, bảng thường có dạng như sau:
[imath]\begin{array}{c|cccccccccc} x & a_1 & & & & & a_2 & & & & a_n \\ \hline u=u(x) & u_1 & a_1 & b_1 & c_1 & ... & u_2 & & ... & u_i... & u_n \\ \hline y=f(u) & y(u_1) & & & & & & & & \\ & & \searrow & & & & & & & \\ & & & y(\alpha) & & & & .... & & \\ & & & & \searrow & & \nearrow & & \searrow & \\ & & & & & y(\beta) & & & & ... \end{array}[/imath]

Dòng 1: là các điểm biên của tập xác định của hàm [imath]u=u(x)[/imath] và các điểm cực trị của [imath]u=u(x)[/imath] (Tìm thông qua [imath]u'(x)=0[/imath])
* Lưu ý: Những bài toán tìm nghiệm trên khoảng, đoạn thì xét trên khoảng, đoạn đề bài yêu cầu kết hợp với tập xác định.
Dòng 2:
2.1.
Ở bước đầu của dòng 2 ta sẽ tìm và điền các giá trị cực trị của [imath]u=u(x)[/imath] và các giới hạn của [imath]u[/imath] ứng với [imath]x[/imath] tại 2 đầu biên của tập xác định
2.2. Tiếp theo ta sẽ tìm và điền các điểm tại đó hàm số [imath]y=f(u)[/imath] không xác định và các điểm cực trị của [imath]y=f(u)[/imath] trên "từng khoảng" biến thiên của [imath]u=u(x)[/imath]
Dòng 3: là các giá trị của [imath]y[/imath] ứng với [imath]u[/imath]

Bước 3: Dựa vào bảng, giải quyết yêu cầu bài toán.

II. Ví dụ
Đọc lý thuyết có thể bạn rất mơ hồ :rongcon16 thì chúng ta cùng đến với một vài ví dụ sau:


VD1: Cho hàm số [imath]y=f(x)[/imath] liên tục trên [imath]\mathbb{R}[/imath] có BBT:
[math]\begin{array}{c|ccccccccc} x & -\infty & & -1 & & 0 & & 2 & & +\infty \\ \hline y' & & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline y & +\infty & & & & 5 & & & & +\infty \\ & & \searrow & & \nearrow & & \searrow & & \nearrow & \\ & & & -3 & & & & -10 & & \end{array}[/math]
Tìm [imath]m[/imath] để phương trình [imath]f(x^2-2x)=m[/imath] có đúng [imath]2[/imath] nghiệm

Lời giải
Tập xác định là [imath]D=\mathbb{R}[/imath]
Đặt [imath]u=u(x)=x^2-2x[/imath]

Ta sẽ bắt đầu với dòng 1:
- "Dòng 1 là các điểm biên của tập xác định của hàm [imath]u=u(x)[/imath] và các điểm cực trị của [imath]u=u(x)[/imath] (Tìm thông qua [imath]u'(x)=0[/imath])" , [imath]u'=0[/imath] thì [imath]x=1[/imath] ta sẽ có dòng 1 của bảng:
[imath]\begin{array}{c|ccccc} x & -\infty & & 1 & & +\infty \\ \hline \end{array}[/imath]

Đến dòng 2:
- "2.1. Ở bước đầu của dòng 2 ta sẽ tìm và điền các giá trị cực trị của [imath]u=u(x)[/imath] và các giới hạn của [imath]u[/imath] ứng với [imath]x[/imath] tại 2 đầu biên của tập xác định" ta có dòng thứ 2 của bảng:
[imath]\begin{array}{c|ccccc} x & -\infty & & 1 & & +\infty \\ \hline u & +\infty & & -1 & & +\infty \end{array}[/imath]
- "2.2. Tiếp theo ta sẽ tìm và điền các điểm tại đó hàm số [imath]y=f(u)[/imath] không xác định và các điểm cực trị của [imath]y=f(u)[/imath] trên "từng khoảng" biến thiên của [imath]u=u(x)[/imath]"
Tiếp theo ta cần tìm tiếp các điểm cực trị của [imath]y=f(x)[/imath], nhìn vào đề sẽ có ngay [imath]x=-1,x=0, x=2[/imath] là các điểm cực trị của [imath]y=f(x)[/imath]
Trên từng khoảng biến thiên của [imath]u=u(x)[/imath] ta sẽ điền các điểm cực trị của [imath]y=f(x)[/imath] theo thứ tự tăng (giảm) dần tức là ở bài này trên khoảng [imath](-1 ; +\infty)[/imath] chứa 2 điểm [imath]x=0[/imath] và [imath]x=2[/imath] (Những điểm trùng với 2 đầu mút hoặc không nằm trong khoảng thì các bạn không điền), từ [imath]+ \infty[/imath] xuống [imath]-1[/imath] thì điền là [imath]+ \infty , 2 , 0 , -1[/imath] còn từ [imath]-1[/imath] lên [imath]+ \infty[/imath] thì điền là [imath]-1 , 0 , 2 , + \infty[/imath]
Ta sẽ được toàn dòng 2 như sau :):
[imath]\begin{array}{c|ccccccccccc} x & -\infty & & & & & 1 & & & & & +\infty \\ \hline u & +\infty & & 2 & & 0 & -1 & & 0 & & 2 & +\infty \end{array}[/imath]
Như vậy ta đã xong 2 dòng của bảng, dòng thứ 3 chỉ việc thay số thôi:
[imath]\begin{array}{c|cccccccccccccc} x & -\infty & & & & & & 1 & & & & & & +\infty \\ \hline u & +\infty & & 2 & & 0 & & -1 & & 0 & & 2 & & +\infty \\ \hline f(u) & +\infty & & & & f(0)=5 & & & & f(0)=5 & & & & +\infty \\ & & \searrow & & \nearrow & & \searrow & & \nearrow & & \searrow & & \nearrow & \\ & & & f(2)=-10 & & & & f(-1)=-3 & & & & f(2)=-10 & & \end{array}[/imath]
Thế là chúng ta có bảng hoàn thiện :rongcon32
[imath]\begin{array}{c|ccccccccccccc} x & -\infty & & & & & & 1 & & & & & & +\infty \\ \hline u & +\infty & & 2 & & 0 & & -1 & & 0 & & 2 & & +\infty \\ \hline f(u) & +\infty & & & & 5 & & & & 5 & & & & +\infty \\ & & \searrow & & \nearrow & & \searrow & & \nearrow & & \searrow & & \nearrow & \\ & & & -10 & & & & -3 & & & & -10 & & \end{array}[/imath]
Như vậy để PT có đúng 2 nghiệm thì [imath]m=-10[/imath] hoặc [imath]m>5[/imath] thoả mãn.

Rất nhanh phải không nào? :D Khi làm bài chỉ cần vẽ mỗi cái bảng và nhìn vào bảng để khoanh đáp án thôi.


VD2: Cho hàm số [imath]y=f(x)[/imath] liên tục trên [imath]\mathbb{R}[/imath] có đồ thị như hình vẽ:
1646651835919.png
Số nghiệm thực của PT [imath]f(\sin x + \cos x) +2=0[/imath] trên đoạn [imath][0;2 \pi][/imath]

Lời giải
Tập xác định: [imath]D= \mathbb{R}[/imath]
[imath]u=u(x)= \sin x + \cos x[/imath]
[imath]u'(x)= \cos x - \sin x[/imath]
[imath]u'(x)=0 \Leftrightarrow x= \dfrac{\pi}{4} + k \pi[/imath]
Do [imath]x \in [0;2 \pi][/imath] nên [imath]x= \dfrac{\pi}{4}[/imath] hoặc [imath]x= \dfrac{5\pi}{4}[/imath]

Dòng 1:
[imath]\begin{array}{c|ccccccc} x & 0 & & \dfrac{\pi}{4} & & \dfrac{5\pi}{4} & & 2\pi \\ \hline \end{array}[/imath]

Dòng 2:
2.1:
[imath]\begin{array}{c|ccccccc} x & 0 & & \dfrac{\pi}{4} & & \dfrac{5\pi}{4} & & 2\pi \\ \hline u=\sin x+\cos x & 1 & & \sqrt2 & & -\sqrt2 & & 1 \\ \hline \end{array}[/imath]
2.2: Nhìn vào đề, thấy [imath]x=-2[/imath] và [imath]x=0[/imath] là 2 điểm cực trị của [imath]y=f(x)[/imath]
[imath]\begin{array}{c|cccccccc} x & 0 & & \dfrac{\pi}{4} & & & \dfrac{5\pi}{4} & & 2\pi \\ \hline u=\sin x+\cos x & 1 & & \sqrt2 & & 0 & -\sqrt2 & 0 & 1 \\ \hline \end{array}[/imath]

Dòng 3: Hoàn thiện bảng:
[imath]\begin{array}{c|ccccccccccc} x & 0 & & \dfrac{\pi}{4} & & & & \dfrac{5\pi}{4} & & & & 2\pi \\ \hline u=\sin x+ \cos x & 1 & & \sqrt2 & & 0 & & -\sqrt2 & & 0 & & 1 \\ \hline & & & a>0 & & & & b\in(-2;0) & & & & 0 \\ & & \nearrow & & \searrow & & \nearrow & & \searrow & & \nearrow & \\ f(u) & 0 & & & & -4 & & & & -4 & & \\ \end{array}[/imath]

Như vậy thì phương trình [imath]f(u)=-2[/imath] có 4 nghiệm phân biệt

Làm nhanh hơn nha :D.

VD3: Cho hàm số [imath]y=f(x)[/imath] liên tục trên [imath]\mathbb{R}[/imath] có BBT:
[math]\begin{array}{c|ccccccccc} x & -\infty & & -1 & & 0 & & 1 & & +\infty \\ \hline y' & & + & 0 & - & 0 & + & 0 & - \\ \hline & & & 1 & & & & 1 & & \\ & & \nearrow & & \searrow & & \nearrow & & \searrow & \\ y & -\infty & & & & 0 & & & & -\infty \end{array}[/math]
Số nghiệm thực thuộc đoạn [imath][0, \pi][/imath] của phương trình [imath]f\Big(f(\cos 2x)\Big)=0[/imath] là bao nhiêu?

Lời giải
Sau khi bạn đã hiểu và quen rồi thì chúng ta có thể làm ngắn gọn như sau:
[imath]\begin{array}{c|ccccccccc} x & 0 & & & & \dfrac{\pi}{2} & & & & \pi \\ \hline u=\cos 2x & 1 & & 0 & & -1 & & 0 & & 1 \\ \hline v=f(\cos 2x) & 1 & & 0 & & 1 & & 0 & & 1 \\ \hline f\Big(f(\cos 2x)\Big) & 1 & & & & 1 & & & & 1 \\ & & \searrow & & \nearrow & & \searrow & & \nearrow & \\ & & & 0 & & & & 0 & & \end{array}[/imath]
Như vậy PT có 2 nghiệm thoả mãn
Rất nhanh phải không nào? :D

VD4: Cho hàm số [imath]y=f(x)[/imath] xác định và liên tục trên [imath]\mathbb{R}\setminus \{0\}[/imath] và có BBT:
[math]\begin{array}{c|ccccccccc} x & -\infty & & & 0 & & & 1 & & +\infty \\ \hline y' & & & - & || & - & & 0 & + \\ \hline y & +\infty & & & || & +\infty & & & & +\infty \\ & & \searrow & & || & & \searrow & & \nearrow & \\ & & & -\infty & || & & & 3 & & \\ \end{array}[/math]Giá trị cực tiểu của hàm số [imath]y=f(x^2-1)[/imath] là bao nhiêu?

Lời giải
[imath]\begin{array}{c|ccccccccccccccccc} x & -\infty & & & & & & & & 0 & & & & & & & & +\infty \\ \hline u=x^2-1 & +\infty & & 1 & & & 0 & & & -1 & & & 0 & & & 1 & & +\infty \\ \hline & & & & & & || & & & & & & || & & & & & \\ f(u) & +\infty & & & & +\infty & || & & & a & & & || & +\infty & & & & +\infty \\ & & \searrow & & \nearrow & & || & & \nearrow & & \searrow & & || & & \searrow & & \nearrow & \\ & & & 3 & & & || & -\infty & & & & -\infty & || & & & 3 & & \end{array}[/imath]
Vậy giá trị cực tiểu cần tìm là [imath]3[/imath]


VD5 Cho hàm số [imath]y=f(x)[/imath] liên tục trên [imath]\mathbb{R}[/imath] có BBT:
[math]\begin{array}{c|ccccccccc} x & -\infty & & -1 & & 0 & & 1 & & +\infty \\ \hline y' & & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline & +\infty & & & & 3 & & & & +\infty \\ & & \searrow & & \nearrow & & \searrow & & \nearrow & \\ y & & & -1 & & & & -1 & & \end{array}[/math]Tìm số nghiệm thuộc [imath][- \pi ; \pi)[/imath] của phương trình [imath]f^2( \cos x) - f(\cos x)=2[/imath]
Lời giải
[imath]\begin{array}{c|ccccccccccccccccc} x & -\pi & & & & & & & & 0 & & & & & & & & \pi \\ \hline u=\cos x & -1 & & & & 0 & & & & 1 & & & & 0 & & & & -1 \\ \hline v=f(\cos x) & -1 & & \dfrac{1}{2} & & 3 & & \dfrac{1}{2} & & -1 & & \dfrac{1}{2} & & 3 & & \dfrac{1}{2} & & -1 \\ \hline f(v)=v^2-v-2 & 0 & & & & 4 & & & & 0 & & & & 4 & & & & 0 \\ & & \searrow & & \nearrow & & \searrow & & \nearrow & & \searrow & & \nearrow & & \searrow & & \nearrow & \\ & & & -\dfrac{9}{4} & & & & -\dfrac{9}{4} & & & & -\dfrac{9}{4} & & & & -\dfrac{9}{4} & & \end{array}[/imath]
Vậy PT có 6 nghiệm.

Lời kết: Hi vọng bài viết sẽ giúp ích cho các bạn, chúc các bạn học tập thật tốt và giữ gìn sức khoẻ mùa Covid. Bạn nào thắc mắc hoặc có góp ý thì cho mình biết nhé.
Mình xin cám ơn!
 
Last edited by a moderator:
Top Bottom