D
dangkhoa1995
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
$\begin{cases}
(x-y)^2y=2 (1)\\
x^3-y^3=19 (2) \\
\end{cases} $
Cách 1 ta nhận xét thấy bậc của ẩn số x và y của phương trình (1) và phương trình (2) đều = nhau =3 ta sẽ giải hệ phương trình theo phương pháp hệ đẳng cấp
vì x=0 và y=0 không là nghiệm của hệ nên ta đặt y=kx $(k\not=0)$
hệ phương trình trở thành $\begin{cases}
kx^3+k^3x^3-2k^2x^3=2 (1)\\
x^3-k^3x^3=19 (2) \\
\end{cases} $
$\Leftrightarrow$ $\begin{cases}
x^3(k^3-2k^2+k)=2 (1)\\
x^3(1-k^3)=19 (2) \\
\end{cases} $
Vì $x\not=0$ ta lấy $\frac{(1)}{(2)}$
$\Leftrightarrow$ $\frac{k^3-2k^2+k}{1-k^3}=\frac{2}{19}$
$\Leftrightarrow$ $\left[ \begin{array}{ll} k=1 \Rightarrow y=x \\
k=\frac{1}{7} \Rightarrow y=\frac{x}{7} \\
k=\frac{2}{3} \Rightarrow y=\frac{2x}{3}
\end{array} \right.$
Đến đây thế vào phương trình (2) và giải ra nghiệm $\begin{cases}
x=\sqrt[3]{\frac{343}{18}}\\
y=\sqrt[3]{\frac{1}{18}} \\
\end{cases} $ hay $\begin{cases}
x=3\\
y=2 \\
\end{cases} $
Cách 2 ta sẽ nghĩ đến phương pháp đặt nhân tử chung và để dễ đặt nhân tử chung ta sẽ triệt tiêu hệ số tự do đi
lấy (1)x19 - (2)x2
$\Leftrightarrow$ $-2x^3+19x^2y-38xy^2+19y^3-2x^3+2y^3=0$
$\Leftrightarrow$ $-2x^3+19x^2y-38xy^2+21y^3$=0
Đến đây ta bấm máy tính để đặt nhân tử chung cho phương trình bậc 3
$\Leftrightarrow$ $-2(x-y)(x-7y)(x-\frac{3y}{2})=0$
và chia ra 3 trường hợp giải như cách 1 ở trên
phương trình căn thức
$ \sqrt[3]{(2-x)^2}+\sqrt[3]{(7+x)^2}-\sqrt[3]{(2-x)(7+x)}=3$
ta đặt $\begin{cases}
u=\sqrt[3]{2-x} \\
v=\sqrt[3]{7+x} \\
\end{cases} $
ta thu được hệ phương trình sau $\begin{cases}
u^2+v^2-uv=3\\
u^3+v^3=9 \\
\end{cases} $
$\Leftrightarrow$ $\begin{cases}
u^2+v^2-uv=3\\
(u+v)(u^2+v^2-uv)=9 \\
\end{cases} $ $\Leftrightarrow$ $\begin{cases}
u^2+v^2-uv=3\\
u+v=3 \\
\end{cases} $
Giải hệ và thu được 2 nghiệm $\begin{cases}
u=2\\
v=1 \\
\end{cases} $ hay$\begin{cases}
u=1\\
v=2 \\
\end{cases} $
Và giải ra nghiệm x=-6 và x=1
phương trình căn thức
$x^3+1=2\sqrt[3]{2x-1}$ (1)
ta đặt t=$\sqrt[3]{2x-1}$
$\Rightarrow$ $x=\frac{t^3+1}{2}$
thay hết ẩn x thành ẩn t và rút gọn phương trình (1)
(1) $\Leftrightarrow$ $t^9+3t^6+3t^3-16t+9=0$ (*)
ta có t=1 là nghiệm của (*)
(*) $\Leftrightarrow$ $(t+1)(t^8+t^7+t^6+4t^5+4t^4+4t^3+7t^2+7t-9)=0$
dò nghiệm = máy tính ta thu được 2 nghiệm xấu. Tạm gọi 2 nghiệm đó là A và B.Sau đó ta tìm được biểu thức A+B=-1 và AB=-1
Dùng Viet lập ra phương trình bậc 2 chứa 2 nghiệm A và B là $t^2+t-1$
Chia 2 vế phương trình bậc 8 cho $t^2+t-1$
(*) $\Leftrightarrow$ $(t-1)(t^2+t-1)(t^6+2t^4+2t^3+4t^2+2t+9)=0$
$\Leftrightarrow$ $\left[ \begin{array}{ll} t-1=0 \Rightarrow t=1 \Rightarrow x=1 \\
t^2+t-1=0 \\
t^6+2t^4+2t^3+4t^2+2t+9(**)
\end{array} \right.$
giải phương trình $t^2+t-1$=0 $\Rightarrow$ $\left[ \begin{array}{ll}
t=\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \Rightarrow x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \\
t=\frac{-1-\sqrt{5}}{2} \Rightarrow x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2} \\
\end{array} \right.$
(**) $\Leftrightarrow$ $(t^3+1)^2+2t^4+(4t^2+2t+8)=0$
Ta có $(t^3+1)^2+2t^4+(4t^2+2t+8)>0$ ( vì 3 phần tử của (**) đều $\geq$ 0)
vậy phương trình (**) vô nghiệm
Kết luận phương trình có 3 nghiệm $\left[ \begin{array}{ll}
x=1 \\
x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \\
x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}
\end{array} \right.$
Cách giải này không phải là tối ưu mong được mọi người đóng góp nhiều cách làm khác
(x-y)^2y=2 (1)\\
x^3-y^3=19 (2) \\
\end{cases} $
Cách 1 ta nhận xét thấy bậc của ẩn số x và y của phương trình (1) và phương trình (2) đều = nhau =3 ta sẽ giải hệ phương trình theo phương pháp hệ đẳng cấp
vì x=0 và y=0 không là nghiệm của hệ nên ta đặt y=kx $(k\not=0)$
hệ phương trình trở thành $\begin{cases}
kx^3+k^3x^3-2k^2x^3=2 (1)\\
x^3-k^3x^3=19 (2) \\
\end{cases} $
$\Leftrightarrow$ $\begin{cases}
x^3(k^3-2k^2+k)=2 (1)\\
x^3(1-k^3)=19 (2) \\
\end{cases} $
Vì $x\not=0$ ta lấy $\frac{(1)}{(2)}$
$\Leftrightarrow$ $\frac{k^3-2k^2+k}{1-k^3}=\frac{2}{19}$
$\Leftrightarrow$ $\left[ \begin{array}{ll} k=1 \Rightarrow y=x \\
k=\frac{1}{7} \Rightarrow y=\frac{x}{7} \\
k=\frac{2}{3} \Rightarrow y=\frac{2x}{3}
\end{array} \right.$
Đến đây thế vào phương trình (2) và giải ra nghiệm $\begin{cases}
x=\sqrt[3]{\frac{343}{18}}\\
y=\sqrt[3]{\frac{1}{18}} \\
\end{cases} $ hay $\begin{cases}
x=3\\
y=2 \\
\end{cases} $
Cách 2 ta sẽ nghĩ đến phương pháp đặt nhân tử chung và để dễ đặt nhân tử chung ta sẽ triệt tiêu hệ số tự do đi
lấy (1)x19 - (2)x2
$\Leftrightarrow$ $-2x^3+19x^2y-38xy^2+19y^3-2x^3+2y^3=0$
$\Leftrightarrow$ $-2x^3+19x^2y-38xy^2+21y^3$=0
Đến đây ta bấm máy tính để đặt nhân tử chung cho phương trình bậc 3
$\Leftrightarrow$ $-2(x-y)(x-7y)(x-\frac{3y}{2})=0$
và chia ra 3 trường hợp giải như cách 1 ở trên
phương trình căn thức
$ \sqrt[3]{(2-x)^2}+\sqrt[3]{(7+x)^2}-\sqrt[3]{(2-x)(7+x)}=3$
ta đặt $\begin{cases}
u=\sqrt[3]{2-x} \\
v=\sqrt[3]{7+x} \\
\end{cases} $
ta thu được hệ phương trình sau $\begin{cases}
u^2+v^2-uv=3\\
u^3+v^3=9 \\
\end{cases} $
$\Leftrightarrow$ $\begin{cases}
u^2+v^2-uv=3\\
(u+v)(u^2+v^2-uv)=9 \\
\end{cases} $ $\Leftrightarrow$ $\begin{cases}
u^2+v^2-uv=3\\
u+v=3 \\
\end{cases} $
Giải hệ và thu được 2 nghiệm $\begin{cases}
u=2\\
v=1 \\
\end{cases} $ hay$\begin{cases}
u=1\\
v=2 \\
\end{cases} $
Và giải ra nghiệm x=-6 và x=1
phương trình căn thức
$x^3+1=2\sqrt[3]{2x-1}$ (1)
ta đặt t=$\sqrt[3]{2x-1}$
$\Rightarrow$ $x=\frac{t^3+1}{2}$
thay hết ẩn x thành ẩn t và rút gọn phương trình (1)
(1) $\Leftrightarrow$ $t^9+3t^6+3t^3-16t+9=0$ (*)
ta có t=1 là nghiệm của (*)
(*) $\Leftrightarrow$ $(t+1)(t^8+t^7+t^6+4t^5+4t^4+4t^3+7t^2+7t-9)=0$
dò nghiệm = máy tính ta thu được 2 nghiệm xấu. Tạm gọi 2 nghiệm đó là A và B.Sau đó ta tìm được biểu thức A+B=-1 và AB=-1
Dùng Viet lập ra phương trình bậc 2 chứa 2 nghiệm A và B là $t^2+t-1$
Chia 2 vế phương trình bậc 8 cho $t^2+t-1$
(*) $\Leftrightarrow$ $(t-1)(t^2+t-1)(t^6+2t^4+2t^3+4t^2+2t+9)=0$
$\Leftrightarrow$ $\left[ \begin{array}{ll} t-1=0 \Rightarrow t=1 \Rightarrow x=1 \\
t^2+t-1=0 \\
t^6+2t^4+2t^3+4t^2+2t+9(**)
\end{array} \right.$
giải phương trình $t^2+t-1$=0 $\Rightarrow$ $\left[ \begin{array}{ll}
t=\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \Rightarrow x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \\
t=\frac{-1-\sqrt{5}}{2} \Rightarrow x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2} \\
\end{array} \right.$
(**) $\Leftrightarrow$ $(t^3+1)^2+2t^4+(4t^2+2t+8)=0$
Ta có $(t^3+1)^2+2t^4+(4t^2+2t+8)>0$ ( vì 3 phần tử của (**) đều $\geq$ 0)
vậy phương trình (**) vô nghiệm
Kết luận phương trình có 3 nghiệm $\left[ \begin{array}{ll}
x=1 \\
x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \\
x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}
\end{array} \right.$
Cách giải này không phải là tối ưu mong được mọi người đóng góp nhiều cách làm khác
Last edited by a moderator: