Topic dành cho tất cả các thành viên yêu thích môn Toán học ^^
Đề số 1: Đề thi học sinh giỏi của PGDVĐT Huyện Ý Yên
View attachment 98781
#Topic sẽ cập nhật thêm nhiều đề khác :#
bài 1:
a,[tex]A=[\frac{(x-1)^2}{x^2+x+1}-\frac{1+4x-2x^2}{x^3-1}-\frac{1}{1-x}]^2:\frac{8x^3+1}{8x^2-4x+2}\\\\ =[\frac{(x-1)^3}{x^3-1}-\frac{1+4x-2x^2}{x^3-1}+\frac{x^2+x+1}{x^3-1}]:\frac{(2x+1).(4x^2-2x+1)}{2.(4x^2-2x+1)}\\\\ =\frac{x^3-3x^2+3x-1-1-4x+2x^2+x^2+x+1}{x^3-1}.\frac{2}{2x+1}\\\\ =\frac{x^3-1}{x^3-1}.\frac{2}{2x+1}=\frac{2}{2x+1}[/tex]
b, [tex]A<1 <=> \frac{2}{2x+1}<1\\\\ <=> \frac{2}{2x+1}-1<0\\\\ <=> \frac{2-2x-1}{2x+1}<0\\\\ <=> \frac{1-2x}{2x+1}<0\\\\[/tex]
=> hoặc 1-2x>0 và 2x+1 >0 => hoặc 2x<1 và 2x>-1
hoặc 1-2x<0 và 2x+1<0 hoặc 2x>1 và 2x<-1 (vô lí)
=> x<1/2 và x>-1/2
vậy -1/2<x <1/2 => A<1
bài 2:
1, [tex]x^2-2xy+y^2-4x+4y-5\\\\ =x^2-2xy+y^2-4x+4y+4-9\\\\ =(x-y-2)^2-9\\\\ =(x-y-2-3).(x-y-2+3)\\\\ =(x-y-5).(x-y+1)[/tex]
2, do đa thức chia bậc 2 nên có dư bậc 1
gọi số dư đó là ax+b
gọi thương của phép chia là Q(x)
có: [tex]x^{20}+x^{10}+x^5+1=Q(x).(x^2-1)+ax+b[/tex]
do đẳng thức luôn đúng nên thay x=1
=> a+b=1+1+1+1=4
với x=-1
=> b-a=1+1-1+1=2
=> a+b+b-a=4+2=6
=> b=3 => a=1
vậy số dư là x+3
bài 3:
1, a, [tex](x^2-4x)^2+2.(x-2)^2=43\\\\ <=> [x.(x-4)]^2+2.(x-2)^2=43[/tex]
đặt x-2=a
khi đó: phương trình trở thành:
[tex][(a-2).(a+2)]^2+2.a^2=43\\\\ <=> (a^2-4)^2+2a^2=43\\\\ <=> a^4-8a^2+16+2a^2=43\\\\ <=> a^4-6a^2+9=43-7\\\\ <=> (a^2-3)^2=36[/tex]
=>hoặc a^2-3=6 hoặc a^2-3=-6
=> hoặc a^2=9 hoặc a^2=-3 (vô lí)
=> hoặc a=3 hoặc a=-3
=> hoặc x-2=3 hoặc x-2=-3
=> hoặc x=5 hoặc x=-1
b, ĐKXĐ: x khác -2;-4;-6;-8
[tex]\frac{x^2+8x+20}{x+4}+\frac{x^2+12x+42}{x+6}=\frac{x^2+4x+6}{x+2}+\frac{x^2+16x+72}{x+8}\\\\ <=> \frac{x^2+8x+16+4}{x+4}+\frac{x^2+12x+36+6}{x+6}=\frac{x^2+4x+4+2}{x+2}+\frac{x^2+16x+64+8}{x+8}\\\\ <=> (x+4)+\frac{4}{x+4}+(x+6)+\frac{6}{x+6}=(x+2)+\frac{2}{x+2}+(x+8)+\frac{8}{x+8}\\\\ <=> \frac{4}{x+4}-1+\frac{6}{x+6}-1=\frac{2}{x+2}-1+\frac{8}{x+8}-1\\\\ <=> \frac{-x}{x+4}+\frac{-x}{x+6}-\frac{-x}{x+2}-\frac{-x}{x+8}=0\\\\ <=> -x.(\frac{1}{x+4}+\frac{1}{x+6}-\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+8})=0\\\\ <=> x.(\frac{x+2-x-4}{(x+2).(x+4)}+\frac{x+8-x-6}{(x+6).(x+8)})=0\\\\ <=> 2x.(\frac{-(x+6).(x+8)+(x+2).(x+4)}{(x+2).(x+4).(x+6).(x+8)})=0\\\\ <=> x.(\frac{-(x^2+14x+48)+(x^2+6x+8)}{(x+2).(x+4).(x+6).(x+8)})=0\\\\ <=> x.(-x^2-14x-48+x^2+6x+8)=0\\\\ <=> x.(-8x-40)=0\\\\ <=> -8.x.(x+5)=0[/tex]
<=> hoặc x=0 hoặc x=-5
2, [tex]2x^2+3y^2+4x=19\\\\ <=> 2.(x^2+2x+1)+3y^2=21\\\\ <=> 2.(x+1)^2=21-3y^2[/tex]
có: vế trái luôn >=0
=> 21-3y^2 >=0
=> 3y^2 <= 21
=> y^2 <7
=> -3 < y < 3
mặt khác y là số nguyên lẻ
=> y thuộc {-1;1}
*với y=-1 có: [tex]2.(x+1)^2=21-3=18\\\\ => (x+1)^2=9/tex]
=> hoặc x+1=3 hoặc x+1=-3
=> hoặc x=2 hoặc x=-4
vậy (x;y) thuộc {(2;1);(2;-1);(-4;1);(-4;-1)}
bài 4:
a, có: tứ giác ABCD là hv
=> BD là đường phân giác => góc NDK=45
có tứ giác HIKC là hv => HK là p/g
=> góc NKD=45
=> tam giác DNK vuông cân tại N
=> góc DNK=90 => KN vuông góc BD
-Xét tam giác BDK có BC và KN là 2 đường cao cắt nhau tại H
=> H là trực tâm => DH vuông góc BK (đpcm)
b, có: DN=NK
=> DN.BD=NK.BD=1/2 diện tích tam giác BDK= BC.DK
lại có: tứ giác ABCD là hv => BC=CD
giờ cần chứng minh MK.BK=CK.DK
tức cần chứng minh MK/DK=CK/BC
tức cần chứng minh tam giác MKD đồng dạng tam giác CKB
mà 2 tam giác này có: góc DMK=góc BCK=90 và góc K chung
=> 2 tam giác này đồng dạng theo (g.g)
=> đpcm
c, đặt diện tích tam giác BHK=S1 ; diện tích tam giác DHK=S2; diện tích tam giác BDH=S3
-Xét tam giác BHK và tam giác HKC có chung đỉnh K và 3 điểm B;H;C thẳng hàng
=> S1/S HCK= BH/CH
-Xét tam giác BDH và tam giác DHC có chung đỉnh D và 3 điểm B;H;C thẳng hàng
=> S3/S DHC=BH/CH
=> BH/CH= S1/S HCK=S3/S DHC= (S1+S3)/(S HCK+ S DCH)= (S1+S3)/S2
CMTT =>DH/HM= (S2+S3)/S1
và HK/HN=(S1+S3)/S2
cộng 3 vế áp dụng cauchy => BH/CH+ DH/HM + HK/HN >=6
dấu "=" xảy ra khi S1=S2=S3 => tam giác ABC đều góc BDK=60 độ
mà góc BDK=45 (cmt)
=> dấu "=" ko xảy ra
=> đpcm
bài 5: mình chịu...ai vô làm đi....:D[/tex]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
