Chia hết và không chia hết

[karikno1]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

a) cho n

N, C/m:

chia hết cho 11

b) C/m:

chia hết cho 13
c) C/m:

chia hết cho 7

 

[linhhuyenvuong]

c,CM:[TEX]2222^{5555}+5555^{2222} \vdots 7[/TEX]
___________________________________________

Ta có
[TEX]2222^{5555}+5555^{2222}=(2222^{5555}+4^{5555})+(5555^{2222}-4^{2222})-(4^{5555}-4^{2222})[/TEX]
Có
[TEX]2222^{5555}+4^{5555} \vdots 2226[/TEX] chia hết cho 7
[TEX]5555^{2222}-4^{2222} \vdots 5551 [/TEX]tức chia hết cho 7

[TEX] -4^{5555}+4^{2222}= -4^{2222}(4^{3333}-1)= -4^{2222}[(4^3)^{1111}-1]= - 4^{2222}(64^{1111}-1) \vdots 63 [/TEX]tức chia hết cho 7

Vậy [TEX]2222^{5555}+5555^{2222} \vdots 7[/TEX]

 

[harrypham]

b) C/m [TEX]3^{105}+4^{105}[/TEX] chia hết cho [TEX]13[/TEX].

[TEX]3^3=27 \equiv 1 \pmod{13} \Rightarrow (3^3)^{35}=3^{105} \equiv 1 \pmod{13}[/TEX]. (1)

[TEX]4^3 \equiv -1 \pmod{13} \Rightarrow (4^3)^{35}=4^{105} \equiv -1 \pmod{13}[/TEX] (2)

Từ (1) và (2) suy ra [TEX]3^{105}+4^{105} \equiv 1-1=0 \pmod{13}[/TEX]
Hay [TEX]3^{105}+4^{105}[/TEX] chia hết cho [TEX]13[/TEX].

 

[harrypham]

a) cho n

N, C/m:

chia hết cho 11

Bài này mình nghĩ tới việc chứng minh bằng phép quy nạp, nhưng mới chỉ chứng minh đúng với n=1 (cm đúng với n=k+1 nếu đúng với n=k thì đang còn suy nghĩ)

Với n=1 thì [TEX]3^{2^{4n+1}}+2= 3^{2^5}+2= 3^{32}+2[/TEX]

Theo định lý Fermat nhỏ thì [TEX]a^{10} \equiv 1 \pmod{11}[/TEX].
Nên [TEX]3^{10} \equiv 1 \pmod{11} \Rightarrow (3^{10})^3 \equiv 1 \pmod{11} \Rightarrow (3^{10})^3.3^2= 3^{32} \equiv 9 \pmod{11} \Rightarrow 3^{32}+2 \equiv 9+2=11 \pmod{11} \Rightarrow 3^{32}+2 \equiv 0 \pmod{11}.[/TEX]

 

[karikno1]

Bài này mình nghĩ tới việc chứng minh bằng phép quy nạp, nhưng mới chỉ chứng minh đúng với n=1 (cm đúng với n=k+1 nếu đúng với n=k thì đang còn suy nghĩ)

Với n=1 thì [TEX]3^{2^{4n+1}}+2= 3^{2^5}+2= 3^{32}+2[/TEX]

Theo định lý Fermat nhỏ thì [TEX]a^{10} \equiv 1 \pmod{11}[/TEX].
Nên [TEX]3^{10} \equiv 1 \pmod{11} \Rightarrow (3^{10})^3 \equiv 1 \pmod{11} \Rightarrow (3^{10})^3.3^2= 3^{32} \equiv 9 \pmod{11} \Rightarrow 3^{32}+2 \equiv 9+2=11 \pmod{11} \Rightarrow 3^{32}+2 \equiv 0 \pmod{11}.[/TEX]

tks các bạn lam tiep nhaz
Bài 1)
C/m với n

Z thì :
a)

khong chia hết cho 169
b)

không chia hết cho 121
c)

không chia hết cho 49
d)

không chia hết cho 121
Bài 2)
Tồn tại hay không số có dạng:
1995 1995 1995...1995 000...000 chia hết cho 1994
Bài 3)
Tồn tại hay không một số nguyên dương là bội của 1993 và có 4 chữ số tận cùng là 1994

 

[yumi_26]

tks các bạn lam tiep nhaz
Bài 1)
C/m với n

Z thì :
a)

khong chia hết cho 169

Đặt

Vì (n - 9) - (n + 4) = 13 nên (n - 9) và (n + 4) cùng chia hết hoặc cùng ko chia hết cho 13.
* Nếu

thì

\Rightarrow A ko chia hết cho 169. (1)
* Nếu (n - 9) và (n + 4) cùng ko chia hết cho 13 thì (n - 9)(n + 4) ko chia hết cho 13
\Rightarrow A ko chia hết cho 13 \Rightarrow A ko chia hết cho 169. (2)
Từ (1) và (2) \Rightarrow đpcm

Các câu b, c, d tương tự

 

[harrypham]

Không biết bạn nói câu b,c,d tương tự thế nào nhưng câu b mình chỉ mới phân tích tới

[TEX]n^2+3n+5=(n+1)(n+2)+3[/TEX]​

thì bó tay, hi vọng bạn có thể giải nốt.

Nghĩ với những bài thế này nên dùng phản chứng. (mà mình không giỏi vấn đề này lắm).

 

[k.nguyen.73]

c,CM:[TEX]2222^{5555}+5555^{2222} \vdots 7[/TEX]
___________________________________________

Bạn có thể giải thích cho mình bài tập này không!
Vì mình không biết có:
[TEX]2222^5555 + 5555^2222 [/TEX] chia hết cho 2226 \Rightarrow chia hết cho 7
Và câu ở dưới nữa! Bạn giải đáp giùm mình nhé!

 

[linhhuyenvuong]

b) C/m [TEX]3^{105}+4^{105}[/TEX] chia hết cho [TEX]13[/TEX].

[TEX]3^3=27 \equiv 1 \pmod{13} \Rightarrow (3^3)^{35}=3^{105} \equiv 1 \pmod{13}[/TEX]. (1)

[TEX]4^3 \equiv -1 \pmod{13} \Rightarrow (4^3)^{35}=4^{105} \equiv -1 \pmod{13}[/TEX] (2)

Từ (1) và (2) suy ra [TEX]3^{105}+4^{105} \equiv 1-1=0 \pmod{13}[/TEX]
Hay [TEX]3^{105}+4^{105}[/TEX] chia hết cho [TEX]13[/TEX].

Ngoài cách này còn sử dụng cách này nữa:
[TEX]3^{105}+4^{105}[/TEX]=[TEX](3^3)^{35}+(4^3)^{35}[/TEX]
[TEX]=27^{35}+64^{35}[/TEX]
Áp dụng t/c: [TEX]a^n+b^n \vdots (a+b)[/TEX] với n lẻ
đc [TEX]27^{35}+64^{35} \vdots (64+27)=91[/TEX]
mà [TEX]91 \vdots 13[/TEX]
\Rightarrow [TEX]3^{105}+4^{105}\vdots 13[/TEX]

 

[linhhuyenvuong]

Bạn có thể giải thích cho mình bài tập này không!
Vì mình không biết có:
[TEX]2222^5555 + 5555^2222 [/TEX] chia hết cho 2226 \Rightarrow chia hết cho 7
Và câu ở dưới nữa! Bạn giải đáp giùm mình nhé!

Có:

Ta áp dụng t/c: [TEX]a^n+b^n \vdots (a+b)[/TEX] với n lẻ
[TEX]a^n-b^n \vdots (a-b)[/TEX] với mọi n
[TEX]2222^{5555}+4^{5555} \vdots (2222+4)=2226[/TEX]
mà [TEX]2226 \vdots 7[/TEX]
\Rightarrow[TEX]2222^{5555}+4^{5555} \vdots 7[/TEX]
Mấy cái còn lại tương tự áp dụng t/c trên!

 

[linhhuyenvuong]

Không biết bạn nói câu b,c,d tương tự thế nào nhưng câu b mình chỉ mới phân tích tới

[TEX]n^2+3n+5=(n+1)(n+2)+3[/TEX]​

thì bó tay, hi vọng bạn có thể giải nốt.

Nghĩ với những bài thế này nên dùng phản chứng. (mà mình không giỏi vấn đề này lắm).

Giả sử [TEX]n^2+3n+5 (1)[/TEX] chia hết cho 121
thì [TEX]n^2+3n+5[/TEX] chia hết cho 11
Mà [TEX]n^2+3n+5=(n^2-8n+16)+11(n-1)=(n-4)^2+11(n-1)[/TEX]
=> [TEX] (n-4)^2 \vdots 11[/TEX]
=> [TEX] n-4 \vdots 11[/TEX]
=> [TEX] n=11k+4[/TEX]
Thay vào (1)
[TEX]n^2+3n+5=(11k+4)^2+3.(11k+4)+5=121k^2+121k+21[/TEX] ko chia hết cho 121
-> Vô lí
+> đpcm

 

[quan6a]

Giaỉ bài chia hết

Bài này dùng quy nạp là song hết
B1: Đật n=0, Tính Ra Sẽ chia hết cho 11
B2: Giả sử n= k Đúng
B3: Gán n=k+1 Cm biều thức này Về B2