Champions League of Mathematics

[seldom_man]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chào các bạn:khi (203):

Mình là mem mới của box Toán .Mong được giúp đỡ............

Chả là mềnh và các bạn đang bước vào giai đoạn nước rút quan trọng là thi vô lớp 10 và mềnh muốn mở một cuộc thi nhỏ này để chúng ta ôn luyện tí xíu trước kì thi quan trọng này.

Và sau đây là chi tiết về cuộc thi ) :

1/ Đối tượng dự thi : Học sinh cấp 2 (Từ 12 đến 16 tuổi),là người Việt (tất nhiên) và đương nhiên là phải có nick hocmai.vn

2/ Đăng kí : Các bạn có thể đăng kí bất cứ lúc nào trong vòng loại (kéo dài 20 ngày)
với bản đăng kí (ngắn gọn ) gồm các thông tin sau :
Họ tên:...............................................
Địa chỉ (Lớp,trường):..........................
Email:.................................................

3/ Hình thức (mô-típ) cuộc thi :

a.Vòng loại (20 ngày): Các thí sinh sẽ ra bài liên hoàn
- Tức là sau khi có 1 người ra đề,ai giải được xong sẽ tiếp tục ra bài tiếp theo và được + 50 điểm vào số tài khoản điểm của mình
- Thí sinh có lời giải hay hơn nếu post đúng sẽ được cộng 20 điểm
- Khi người đó nêu ra 1 lời giải sai thì ai phát hiện được và giải lại đúng sẽ được cộng 50 điểm ấy (ng sai đương nhiên k được điểm)
- Bài làm và đề bài của người làm sai sẽ k được công nhận
- Nguời giải đúng tiếp tục ra đề

Kết thúc 20 ngày vòng loại, 4 thí sinh có điểm số cao nhất sẽ bước vào vòng chung kết

b.Vòng chung kết (10 ngày):
- Thí sinh điểm cao nhất vòng loại sẽ ra bài đầu tiên ( 1 bài )
- Các thí sinh còn lại tiến hành giải và ra đề theo thể thức liên hoàn như vòng đầu tiên, có điều, mỗi bài ở vòng này được tính số điểm như sau:
S = 100 - B với B được tính như sau : cứ 30 phút thì B sẽ tăng 1 đơn vị,sau 1 ngày (thời gian được hocmai ở trên rồi), B = 40; sau 2 ngày: B= 70

4.Giải thưởng : Đã là thi thì phải có thưởng nhỉ !!,Nhưng giải thưởng này sẽ được thông báo khi vòng loại kết thúc !!!

5.Link :
Đăng kí : http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=219880&page=2
Bảng xếp hạng và thắc mắc : http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?p=1954568#post1954568

 

[seldom_man]

Bài 1 (Khởi đầu ):Giải phương trình :

[tex](\frac{1}{x})^2+(\frac{1}{x+1})^2 = \frac{5}{4} [/tex]

Bài khởi đầu ................................

 

[bosjeunhan]

Bài 1 (Khởi đầu ):Giải phương trình :

[tex](\frac{1}{x})^2+(\frac{1}{x+1})^2 = \frac{5}{4} [/tex]

Bài khởi đầu ................................

Chém chém,
Đặt [TEX]a = \frac{1}{x}[/TEX] Suy ra [TEX] \frac{1}{x+1} = \frac{a}{a+1}[/TEX]
Phương trình cần chứng minh tương đương:
[TEX]a^2 + (\frac{a}{a+1})^2 = \frac{5}{4} [/TEX]
Lại có: [TEX] a - \frac{a}{a+1} = \frac{a^2}{a+1}= a. \frac{a}{a+1}[/TEX]
Đặt [TEX]\frac{a}{a+1} = b[/TEX]
Ta có:[TEX] a-b=ab[/TEX] và [TEX]a^2+b^2=\frac{5}{4}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab=(ab)^2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (ab)^2 + 2ab - \frac{5}{4} = 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow ab=\frac{1}{2}[/TEX] hoặc [TEX]ab=\frac{-5}{2}[/TEX]
Với [TEX]ab= \frac{1}{2}[/TEX], ta có hệ:
[TEX]ab= \frac{1}{2}[/TEX]
[TEX]a-b= \frac{1}{2}[/TEX]
Hoặc [TEX]a=1[/TEX] hoặc [TEX]a= \frac{-1}{2}[/TEX]
Tương đương hoặc x=1 hoặc x=-2 (Thử vào pt đầu, thỏa mãn)
Với [TEX]ab=\frac{-5}{2}[/TEX], ta có hệ:
[TEX]ab=\frac{-5}{2}[/TEX]
[TEX]a-b=\frac{-5}{2}[/TEX]
Hệ vô nghiệm
Vậy pt đã cho có 2 nghiệm là x=1 và x=-2

Bạn đăng kí xong mới vô đây post bài chớ. Và hình như yêu cầu chỉ cần một người làm đúng. "Giống như bạn đang phá vậy" (Mình không có ý gì cả)

Lằng nhằng, dài dòng

[TEX](\frac{1}{x})^2+(\frac{1}{x+1})^2=\frac{5}{4} [/TEX] (x#0;x#1)

\Leftrightarrow[TEX]\frac{1}{x^2}+\frac{1}{(x+1)^2}-\frac{2}{x(x+1)}+\frac{2}{x(x+1)}=\frac{5}{4} [/TEX]

\Leftrightarrow[TEX](\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1})^2+\frac{2}{x(x+1)}=\frac{5}{4}[/TEX]

\Leftrightarrow[TEX](\frac{1}{x(x+1)})^2+\frac{2}{x(x+1)}=\frac{5}{4}[/TEX]

[TEX]\frac{1}{x(x+1)}=a[/TEX]
PT: [TEX]a^2+2a=\frac{5}{4}[/TEX]
.........

Mình làm khá hoàn chỉnh còn lại làm thế kia thì đương nhiên ngắn hơn mình
(Mình ko phụ nhận cách bạn hay hơn cách mình)

Ai kiểm tra lại xem đúng chưa để em post bài tiếp...
@minhtuyb: Gộp lại. Lỡ đăng kí cùng rồi nên không làm BGK test bài hộ đc ) <Mình thấy đúng òi >

Thế thì chủ thớt cho ý kiến đi, nhanh nhanh chúng ta cùng tiếp tục chứ

P/s: Nếu bài khó quá, vẫn chưa cao thủ nào giải nổi thì tính sao đây chủ topic

 

[soibac_pro_cute]

Chém chém,
Đặt [TEX]a = \frac{1}{x}[/TEX] Suy ra [TEX] \frac{1}{x+1} = \frac{a}{a+1}[/TEX]
Phương trình cần chứng minh tương đương:
[TEX]a^2 + (\frac{a}{a+1})^2 = \frac{5}{4} [/TEX]
Lại có: [TEX] a - \frac{a}{a+1} = \frac{a^2}{a+1}= a. \frac{a}{a+1}[/TEX]
Đặt [TEX]\frac{a}{a+1} = b[/TEX]
Ta có:[TEX] a-b=ab[/TEX] và [TEX]a^2+b^2=\frac{5}{4}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab=(ab)^2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (ab)^2 + 2ab - \frac{5}{4} = 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow ab=\frac{1}{2}[/TEX] hoặc [TEX]ab=\frac{-5}{2}[/TEX]
Với [TEX]ab= \frac{1}{2}[/TEX], ta có hệ:
[TEX]ab= \frac{1}{2}[/TEX]
[TEX]a-b= \frac{1}{2}[/TEX]
Hoặc [TEX]a=1[/TEX] hoặc [TEX]a= \frac{-1}{2}[/TEX]
Tương đương hoặc x=1 hoặc x=-2 (Thử vào pt đầu, thỏa mãn)
Với [TEX]ab=\frac{-5}{2}[/TEX], ta có hệ:
[TEX]ab=\frac{-5}{2}[/TEX]
[TEX]a-b=\frac{-5}{2}[/TEX]
Hệ vô nghiệm
Vậy pt đã cho có 2 nghiệm là x=1 và x=-2

Lằng nhằng, dài dòng

[TEX](\frac{1}{x})^2+(\frac{1}{x+1})^2=\frac{5}{4} [/TEX] (x#0;x#1)

\Leftrightarrow[TEX]\frac{1}{x^2}+\frac{1}{(x+1)^2}-\frac{2}{x(x+1)}+\frac{2}{x(x+1)}=\frac{5}{4} [/TEX]

\Leftrightarrow[TEX](\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1})^2+\frac{2}{x(x+1)}=\frac{5}{4}[/TEX]

\Leftrightarrow[TEX](\frac{1}{x(x+1)})^2+\frac{2}{x(x+1)}=\frac{5}{4}[/TEX]

[TEX]\frac{1}{x(x+1)}=a[/TEX]
PT: [TEX]a^2+2a=\frac{5}{4}[/TEX]
.........

 

[seldom_man]

Bài thi của bạn bosjeunhan đúng và được cộng điểm rồi mà !!
Mời bạn tiếp tục ra đề cuộc thi

P/s: Khi làm xong bài,dù đúng hay sai thì các bạn cứ post đề lên,nếu sai thì bài làm và đề k đc công nhận thôi mà !!

 

[bosjeunhan]

Bài thi của bạn bosjeunhan đúng và được cộng điểm rồi mà !!
Mời bạn tiếp tục ra đề cuộc thi

P/s: Khi làm xong bài,dù đúng hay sai thì các bạn cứ post đề lên,nếu sai thì bài làm và đề k đc công nhận thôi mà !!

Em mê BĐT nhất nên em ra cái đề cho mấy pro xông vô giải nha:
Cho các số thực không âm x,y,z thỏa mãn x+y+z=1
CMR: [TEX]\frac{1}{1-xy} + \frac{1}{1-yz} + \frac{1}{1-zx} \leq \frac{27}{8} [/TEX]

(P/s: Định ra bài siêu khó nhưng mà thôi, chơi đẹp, vừa vừa cho anh em mần)

 

[thienlong_cuong]

Lằng nhằng, dài dòng

[TEX](\frac{1}{x})^2+(\frac{1}{x+1})^2=\frac{5}{4} [/TEX] (x#0;x#1)

\Leftrightarrow[TEX]\frac{1}{x^2}+\frac{1}{(x+1)^2}-\frac{2}{x(x+1)}+\frac{2}{x(x+1)}=\frac{5}{4} [/TEX]

\Leftrightarrow[TEX](\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1})^2+\frac{2}{x(x+1)}=\frac{5}{4}[/TEX]

\Leftrightarrow[TEX](\frac{1}{x(x+1)})^2+\frac{2}{x(x+1)}=\frac{5}{4}[/TEX]

[TEX]\frac{1}{x(x+1)}=a[/TEX]
PT: [TEX]a^2+2a=\frac{5}{4}[/TEX]
.........

và rồi kết cục cuối cùng
Khi kiếm đc a , nếu a nguyên thì may
Nếu a vô tỷ hay a hữu tỷ
thì quá hay ! Quá ngắn :-??
Ko ngắn hơn cách bò là bao !

 

[thienlong_cuong]

Em mê BĐT nhất nên em ra cái đề cho mấy pro xông vô giải nha:
Cho các số thực không âm x,y,z thỏa mãn x+y+z=1
CMR: [TEX]\frac{1}{1-xy} + \frac{1}{1-yz} + \frac{1}{1-zx} \leq \frac{27}{8} [/TEX]

(P/s: Định ra bài siêu khó nhưng mà thôi, chơi đẹp, vừa vừa cho anh em mần)

ê cu !
BĐT ni đưa về dạng chính tắc là

[TEX]\frac{1}{a^2 + bc} + \frac{1}{b^2 + ac} + \frac{1}{c^2 + ab} \leq \frac{27}{3}[/TEX]

Với a,b , c dương và [TEX]a + b + c = 2[/TEX]
@minhtuyb: Làm hoàn thiện đi ông ="='
đúng ko anh bạn "bò sứt mui"

--Bosjeunhan--Làm thì làm nhanh đi mấy PA, có chơi không?
Hay là bỏ cuộc vậy trời...Đang máu tiết lên

 

[seldom_man]

Bổ sung thêm thể lệ:

Nếu bài làm của thí sinh nào mà quá 3 ngày k có ng giải được thì phần thưởng 50 điểm sẽ thuộc về người đó và tớ sẽ ra bài tiếp chứ tránh hiện tượng ra bài xong rồi k có ai giải bài mà vòng loại chỉ có 20 ngày,k phân đc thứ hạng.

Vì là thể lệ bổ sung nên hạn giải bài của bạn "bò" đc đẩy lên thêm 1 ngày nữa!

--Bosjeunhan--(P/s: Không ai vô giải thì mình thứ nhất đó bạn ) , sao không phân thứ hạng ))
Mọi người vào giải cho topic đi

 

[seldom_man]

Đăng bài tiếp đây,chúc mừng "bò" đc cộng 50 điểm nữa.Mềnh có bài này khá hay đố mọi người: (cũng dễ)

Cho 0< x < a; 0 < y< b và 2xy=ab.Cmr:

[tex]2(x+y) \geq a+b [/tex]

P/s: Đú bất đẳng thức nè

 

[son9701]

Đăng bài tiếp đây,chúc mừng "bò" đc cộng 50 điểm nữa.Mềnh có bài này khá hay đố mọi người: (cũng dễ)

Cho 0< x < a; 0 < y< b và 2xy=ab.Cmr:

[tex]2(x+y) \geq a+b [/tex]

P/s: Đú bất đẳng thức nè

Ha ha .......................

Đúng là ý tg lớn gặp nhau,mềnh cũng đã từng chế được bài ny ) , định đăng ở chung kết team contest mừ k đc !!

Xét tam giác ABC nhọn với AB = a; AC= b. Lấy M;N thuộc AB;AC sao cho AM = x; AN = y.Ta có :

[TEX]\frac{S_{AMN}}{S_{ABC}} = \frac{\frac{1}{2}xy.sinA}{\frac{1}{2}ab.sinA}= \frac{xy}{ab} = \frac{1}{2}[/TEX]

Nếu 2.AM < AB thì
[TEX]S_{AMN} < S_{AMC} < \frac{S_{ABC}}{2}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow x \geq \frac{a}{2} [/TEX]

Cmtt: [TEX]y \geq \frac{b}{2}[/TEX]

Cộng theo vế 2 bất đẳng thức ta được đpcm

P/s: Phải là bất đẳng thức chặt vs dấu > chứ nhỉ? Vì dấu = k xảy ra mà

Ôi,em kết phương pháp hình học rồi =))

---------------------------------------------
Kệ đúng sai thế nào,em cứ post bài mới đã !

Cho tam giác ABC và M;N di động trên AB;AC sao cho [tex]k.S_{AMN}=S_{ABC}[/tex] vs k là 1 hằng số k đổi
Tìm giá trị nhỏ nhất của MN

 

[hoa_giot_tuyet]

Em mê BĐT nhất nên em ra cái đề cho mấy pro xông vô giải nha:
Cho các số thực không âm x,y,z thỏa mãn x+y+z=1
CMR: [TEX]\frac{1}{1-xy} + \frac{1}{1-yz} + \frac{1}{1-zx} \leq \frac{27}{8} [/TEX]

(P/s: Định ra bài siêu khó nhưng mà thôi, chơi đẹp, vừa vừa cho anh em mần)

đc + điểm thì post lời gỉai ae tham khảo vs

search google ra rùi nhưng mà xem anh boy siu nhưn có cách nào ngắn gọn hơn k

Là bò siêu nhân bạn.
Cách mình dùng đổi biến q,p,r. Bạn nếu muốn tìm hiểu thì pm cho mình. Mình sẽ post ở đây cho mọi người

à cái này trong TTT có thì phải tks bạn

 

[agito000]

minh giai bai cua son9701 the nay
chon M',N' la 2 diem thuoc AB,AC sao cho S AM'N'=S AMN=S ABC/k va AM'=AN'
do S AM'N'=S AMN \RightarrowAM.AN=AM'.AN'\LeftrightarrowAMN' dong dang voi ANM'\RightarrowMN'//M'N
gia su N thuoc doan AN\RightarrowM thuoc doan BM
\RightarrowAN'\leqAN=AM\leqAM'\Rightarrow goc AMN'\leqgoc AN'M\RightarrowM'N'\leqMN
dat M'N'=x, AM'=AN'=a ta co S AM'N'= S ABC/k=can{(a+a+x)(a+x-a)(a+x-a)(a+a-x)/16}
\Leftrightarrow S AM'N'=can{(2a-x)(2a+x)x^2)/16}
\Leftrightarrow a^2.sin A/2=can{(2a-x)(2a+x)x^2)/16}.....
lam den day thoi cung dc roi nhio-+o-+o-+o-+o-+

 

[ma_vuong_97]

minh giai bai cua son9701 the nay
chon M',N' la 2 diem thuoc AB,AC sao cho S AM'N'=S AMN=S ABC/k va AM'=AN'
do S AM'N'=S AMN \RightarrowAM.AN=AM'.AN'\LeftrightarrowAMN' dong dang voi ANM'\RightarrowMN'//M'N
gia su N thuoc doan AN\RightarrowM thuoc doan BM
\RightarrowAN'\leqAN=AM\leqAM'\Rightarrow goc AMN'\leqgoc AN'M\RightarrowM'N'\leqMN
dat M'N'=x, AM'=AN'=a ta co S AM'N'= S ABC/k=can{(a+a+x)(a+x-a)(a+x-a)(a+a-x)/16}
\Leftrightarrow S AM'N'=can{(2a-x)(2a+x)x^2)/16}
\Leftrightarrow a^2.sin A/2=can{(2a-x)(2a+x)x^2)/16}.....
lam den day thoi cung dc roi nhio-+o-+o-+o-+o-+

bạn có thể làm lại bằng cách gõ TEX ko

Cách gõ công thức Toán, Vật lí, Hóa học

 

[agito000]

kho wa cai may nha minh sao hom nay cha go dc kieu ay gi ca.de mai minh xem the nao roi viet lai cho ban nhe.ma co the thi ban nao viet lai luon ho minh cai (*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)

 

[ma_vuong_97]

minh giai bai cua son9701 the nay
chon M',N' la 2 diem thuoc AB,AC sao cho S AM'N'=S AMN=S ABC/k va AM'=AN'
do [TEX]S_{AM'N'}=S_{AMN} \Rightarrow AM.AN=AM'.AN'\Leftrightarrow \DeltaAMN'[/TEX] dong dang voi [TEX]\DeltaANM' \Rightarrow MN'//M'N[/TEX]
gia su N thuoc doan AN[TEX]\Rightarrow[/TEX]M thuoc doan BM
[TEX]\Rightarrow AN' \leq AN = AM \leq AM' \Rightarrow \hat{AMN'} \leq \hat{AN'M} \Rightarrow M'N' \leq MN[/TEX]
dat M'N'=x, AM'=AN'=a ta co [TEX]S_{AM'N'}= \frac{S_{ABC}}{k}=\frac{\sqrt{(a+a+x)(a+x-a)(a+x-a)(a+a-x)}}{16}[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow S_{AM'N'}= \frac{\sqrt{(a+a+x)(a+x-a)(a+x-a)(a+a-x)}}{16} [/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow a^2.sin \frac{A}{2}=\frac{\sqrt{(a+a+x)(a+x-a)(a+x-a)(a+a-x)}}{16}[/TEX].....

Thế này đúng ko bạn

 

[seldom_man]

bài của agito000 đúng rồi.bạn có thể up bài tiếp theo.Điểm của bạn cũng được cộng rồi.thân

P/s: Có thể k cần yah c~ đc nhưng lần sau nếu thắc mắc bạn nên đăng ở mục thắc mắc ấy:
http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=222170

 

[agito000]

mình có bài này cho các bạn làm đây
cho a+b+c=1/2,a,b,c>0.CMR:[TEX]\frac{b^2}{a}[/TEX] +[TEX]\frac{c^2}{b}[/TEX] +[TEX]\frac{a^2}{c}[/TEX] \geq[TEX]\frac{3}{2}[/TEX]-12(ab+bc+ca)||||||||@};-

 

[ntv997]

Mình xin phép giải bài này nhé

[TEX]\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}+\frac{a^2}{c}[/TEX]\geq[TEX]\frac{3}{2}[/TEX]-12(a+b+c)
\Leftrightarrow[TEX]\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}+\frac{a^2}{c}[/TEX]\geq1-12(ab+bc+ca)+[TEX]\frac{1}{2}[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}+\frac{a^2}{c}[/TEX]\geq4(a+b+c)^2-12(ab+bc+ca)+[TEX]\frac{1}{2}[/TEX]
[TEX]\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}+\frac{a^2}{c}[/TEX]\geq4a^2+4b^2+4c^2-4ab-4bc-4ca+a+b+c
\Leftrightarrow[TEX](\frac{1}{a}-2)(a-b)^2+(\frac{1}{b}-2)(b-c)^2+(\frac{1}{c}-2)(c-a)^2[/TEX]\geq0 luôn đúng
(*):-SSo-+|&gt;-/|-)@};-=((@-)o=&gt;b-|8-|
đúng chắc chắn rồi mình post bài mới đây tìm các số nguyên dương x,y sao cho[TEX]\frac{x^2.y^2}{x^2+y^2}[/TEX]là số nguyên tố

 

[maikhaiok]

mình có bài này cho các bạn làm đây
cho a+b+c=1/2,a,b,c>0.CMR:[TEX]\frac{b^2}{a}[/TEX] +[TEX]\frac{c^2}{b}[/TEX] +[TEX]\frac{a^2}{c}[/TEX] \geq[TEX]\frac{3}{2}[/TEX]-12(ab+bc+ca)||||||||@};-

Cần trừ điểm thành viên này Vì thay đổi đề bài! Hồi trưa bạn agito000 post đề bài như sau:

Cho $a+b+c=1$ và $a,b,c>0$.....CMR: $\frac{{{b^2}}}{a} + \frac{{{c^2}}}{b} + \frac{{{a^2}}}{c} \ge 3 - 6\left( {ab + bc + ca} \right)$..Do chiều mình phải đi học nên định lúc đi học về thì post lời giải.....

P/s: MÌnh phát hiện ra ko biết có được cộng điểm ko! và nếu muốn mình trình bày lời giải của đề bài ban đầu thì mình sẵn sàng