câu cuối bài thi vào 10 nè

[vjtcon_lovebigbang_4ever]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn: x+y+z=1
CM:[TEX]\frac{3}{xy+yz+zx}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}\geq14[/TEX]

 

[hungphino1]

hjx, mình chứng minh đc \leq 8 nek`!

Ta có:
[TEX]\frac{3}{xy+yz+zx} = \frac{6}{2.(xy+yz+zx)}[/TEX]
Mặt khác, ta có:
[TEX] 2.(xy+yz+zx) = (x+y+z)^2 - (x^2+y^2+z^2) = 1-(x^2+y^2+z^2) \leq 1=x+y+z[/TEX]
[TEX] \Rightarrow \frac{2}{x+y+z} \leq \frac{6}{2.(xy+yz+zx)} [/TEX]
[TEX] \Rightarrow \frac{6}{x+y+z} \leq \frac{6}{2.(xy+yz+zx)}[/TEX]
hay [TEX]6 \leq \frac{6}{2.(xy+yz+zx)}[/TEX] (1)

Ta cóa típ:
[TEX] x^2+y^2+z^2= (x+y+z)^2- 2.(xy+yz+zx)= 1 - 2.(xy+yz+zx) \leq 1= x+y+z[/TEX]
[TEX] \Rightarrow \frac{1}{x+y+z} \leq \frac{1}{x^2+y^2+z^2}[/TEX]
[TEX] \Rightarrow \frac{2}{x+y+z} \leq \frac{2}{x^2+y^2+z^2}[/TEX]
hay [TEX]2 \leq \frac{2}{x^2+y^2+z^2} (2)[/TEX]

Từ (1) và (2) \Rightarrow ĐPCM

 

[star_music]

VT [TEX]\Leftrightarrow 2(\frac{1}{2(xy+yz+zx)}+\frac{1}{x^2+y^2+z^2})+[/TEX][TEX]\frac{2}{xy+yz+xz}[/TEX][TEX]\geq \frac{8}{(x+y+z)^2}+\frac{6}{(x+y+z)^2}[/TEX] [TEX]\geq 8+6=14[/TEX]
Đẳng thức xảy ra [TEX]\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}[/TEX]

 

[maikhaiok]

Và nhận xét cuối cùng là: Cả hai bạn hungphino1 và star_music đều làm sai ở bước kết luận.

Và cách làm đúng phải là như sau:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

[TEX]x=y=z=1/3[/TEX] và [TEX]2(xy+yz+zx)=x^2+y^2+z^[/TEX]

Hệ trên vô nghiệm nên đẳng thức ko xảy ra và bất đẳng thức cuối cùng là:

[TEX]\frac{3}{{xy + yz + zx}} + \frac{2}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}} > 14[/TEX] >-

Bài trên có phải trích từ "Đề thi tuyển sinh lớp 10 bán công, ĐHSP Hải Phòng,2003-2004" ko nhỉ :-SS:-SS

 

[hungphino1]

hì

Mình nghĩ ra rùi nek:

[TEX]x^2+y^2+z^2= (x+y+z)^2 - 2(xy+yz+zx)[/TEX]
Đặt [TEX]xy+yz+zx= t[/TEX], ta có:

[TEX]\frac{3}{t} + \frac{2}{1-2.t} -14 = \frac{3-6.t+2.t-14+28.t^2}{t.(1-2.t}[/TEX]

Xét mẫu:

[TEX]t.(1-2.t)>0 [/TEX](vì [TEX]t>0, 1-2t= x^2+y^2+z^2\geq0[/TEX])
Xét tử

[TEX]= 28.t^2 -18.t +3 >0[/TEX] (tự tính nhá!)

từ đó \Rightarrow cái ở trên >14

 

[mamcay]

ddddfefg

baì này cực dễ.chỉ cần áp dụng hệ quả của bdt cô-si là ra ngay
ta có:2/(x^2+y^2+z^2)+3/(xy+yz+zx)=2/(x^2+y^2+z^2)+6/(2xy+2yz+2zx)
\geq(căn2+căn6)^2/(x+y+z)^2=(căn2+căn6)^2>14