Toán [Casio] Chuyên đề đại số tổng hợp

H

huynhbachkhoa23

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Yêu cầu khi bắt đầu vào: Nắm được đặc điểm của loại máy mà bạn sử dụng
Lưu ý: Các nút:
- Nút phân số mính sẽ gọi là $\fbox{dfrac}$
- Nút căn bậc 2 mình sẽ gọi là $\fbox{sqrt}$

Dạng 1: Tìm số dư.
Yếu cầu: Nắm toàn bộ lý thuyết đồng dư thức.

Định lý Fermat nhỏ: $a$ là một số nguyên dương bất kỳ và $p$ là số nguyên tố.

$a^{p}\equiv a\pmod{p}$

Định lý Fermat về tổng 2 số chính phương: $A,a,b\in \mathbb{N}^{*}$
a) $A\equiv 1 \pmod{4}$ thì $A=a^2+b^2$

b) Nếu $A=a^2+b^2$ thì $A\equiv 1\pmod{4}$

Phương pháp tìm số dư bằng máy Casio fx-570 VN Plus:
Ví dụ tìm số dư của $A$ khi chia cho $a$

Điều kiện số chữ số của $A$ nhỏ hơn hoặc bằng 10 chữ số.

Nhấn: $A \fbox{ALPHA}\fbox{dfrac} a$ và nhấn $\fbox{=}$

Ví dụ 1: Tìm số dư khi chia $987654321$ cho $12345$
Cách làm: $987654321$ có 9 chữ số.
Nhập $987654321 \fbox{ALPHA}\fbox{dfrac} 12345$ và nhấn $\fbox{=}$
Kết quả: $4941$

Ví dụ 2: Tìm số dư khi chia $2345678901234$ cho $4567$
Cách làm: Phân tích $2345678901234=234567890.10000+1234$

Tính số dư khi chia $234567890$ cho $4567$ bằng nút $\fbox{ALPHA}\fbox{dfrac}$: $2203$

Thay $234567890$ bởi $2203$, giờ chỉ cần tìm số dư của $22031234$ cho $4567$ là ra.

Kết quả: $26$

Ví dụ 3: Tìm số dư khi chia $2012^{67}$ cho $19$

Giờ chỉ nêu hướng làm, các thao tác làm như trên.

Cách giải: Khi gặp các dạng bài này luôn chú ý nhìn số chia trước, $19$ là số nguyên tố.

Phân tích $2012^{67}=2012^{3.19}.2012^{10}$

Có $2012^{2}\equiv 4\pmod{19}$
$\rightarrow 2012^{10}\equiv 4^{5}\equiv 17\pmod{19}$

$2012^{3}\equiv 11\pmod{19}$

Áp dụng định lý Fermat nhỏ: $2012^{3.19}\equiv 11^{19}\equiv 11 \pmod{19}$

Nhân vào $2012^{67}\equiv 11.17 \equiv 16\pmod{9}$

Ví dụ 4: Tìm số dư khi chia $2^3+3^4+4^5+...+10^{11}$ cho $17$

Cách giải:

Nhập và tính biểu thức này vào máy: $\sum\limits_{x=2}^{10}(X^{X+1})$

Được $1.036270636.10^{11}$

Giứ nguyên màn hình và ấn: $-1\text{x}10^{11}\fbox{=}$ được $3627063604$

Vậy $2^3+3^4+4^5+...+10^{11}=103627063604$

Giờ thì làm như ví dụ 2.

Và các dạng cơ bản khác sẽ được thầy cô dạy hoặc tham khảo sách hướng dẫn.

Dạng 2: Ước chung lớn nhất và bội chung hỏ nhất.

Tính năng tìm UCLN, BCNN của máy Casio fx-570 VN Plus:

Nút $\fbox{ALPHA}\fbox{GCD}$ ở dấu nhân là UCLN.
Nút $\fbox{ALPHA}\fbox{LCM}$ ở dấu chia là BCNN.

Giới hạn: Tìm được cho 2 số và 2 số đó có nhiều nhất 10 chữ số và kết quả cũng phải nhỏ hơn hoặc bằng 10 chữ số.

Thuật toán Euclid: $(a;b)=(b;r)$ nếu $a>b$

Công thức BCNN: $[a;b]=\dfrac{a.b}{(a;b)}$

Ví dụ 1: Tìm UCLN và BCNN của $2419580247$ và $3802197531$

Cách làm: Nhập vào màn hình: $GCD(2419580247, 3802197531)$ và nhấn $\fbox{=}$

Kết quả là $345654321$

Lưu ý, không thể chuyển GCD thành LCM được vì vượt quá giới hạn nêu trên.

Áp dụng công thức: Nhập $\dfrac{2419580247\text{x}3802197531}{Ans}$ bị tràn màn hình nhưng may mắn thay $\text{x10}^{10}$ nằm trong phạm vi lưu trữ chính xác của máy.

Nhấn tiếp $-2\text{x}10^{10}$ và ấn "bằng"

Kết quả là $6615382717$

Vậy $BCNN=26615382717$

Và các loại khác tương tự.

Dạng 3: Số thập phân vô hạn tuần hoàn:

Nút $\fbox{ALPHA}\fbox{sqrt}$ biểu diễn phần thập phân tuần hoàn.

Ví dụ 1: Viết số $3,(15)$ dưới dạng phân số hữu tỉ.

Ta nhập toàn bộ vào và được $\dfrac{104}{33}$

Ví dụ 2: Tính số chữ số trong phần tuần hoàn của $\dfrac{1}{49}$

Nhập $\dfrac{1}{49}$ và ấn $\fbox{=}$ và nhấn tiếp $S\leftrightarrow D$

Phần còn lại là ngồi đếm =))

Đối với các số như $\dfrac{97}{197}$ thì phải làm theo cách thông thường

Ví dụ 3: Tìm chữ số thứ 15 sau dấu phẩy của $\sqrt{2}$

Cách làm: $\sqrt{2}=1.41421356+a$

$\rightarrow a^2+1.41421356.a+1.41421356^2-2=0$

$1.41421356^2$ tính bằng "tay" và vào phương trình bậc 2 nhập vào. Tìm được $a$ rồi ghép vào là sẽ ra :D

Dạng 4: Logarit.

Đinh nghĩa: $a^{\alpha}=b$ thì $\alpha = \log_{a}(b)$ với $a,b>0$

$\log_k(b^{\alpha})=\alpha\log_{k}(b)$

Ứng dụng: Tính số chữ số của $6^{23}$

Như đã biết, $10^{x}$ có $[x]+1$ chữ số

Muốn tính số chữ số của $6^{23}$ ta phải biến đổi $6^{23}=10^{\alpha}$

Suy ra $[\alpha]+1 = [\log_{10}(6^{23})]+1=[23\log_{10}(6)]+1=18$

Vậy ...

Dạng 5: Số nguyên tố, Số hoàn chỉnh.

- Muốn kiểm tra tính nguyên tố, có 2 cách.

Cách 1: Sử dụng phím $FACT$. Lưu ý, giới hạn là $3$ chữ số

Cách 2: Muốn kiển tra $k$ là số nguyên tố thì tính $[\sqrt{k}]$ và cho vòng lặp:
Gán $A=[\sqrt{k}]$

Nhập: $\dfrac{k}{A}: A=A-1$

Nếu lặp từ $A \to 1$ mà $k$ không chia hết cho số nào thì $k$ nguyên tố.

- Số các ước dương:
Muốn tính số các ước dương của $A$, ta làm như sau:

Phân tích $A$ thành thừa số nguyên tố: $A=p_1^{a_1}.p_2^{a_2}.....p_n^{a_n}$

Số các ước dương chính bằng $(a_1+1)(a_2+1).....(a_n+1)$

Tổng các ước dương tính bằng $\dfrac{p_1^{a_1+1}.p_2^{a_2+1}.....p_n^{a_n+1}}{(p_1-1)(p_2-1).....(p_n-1)}$

Nếu $A$ có tổng các ước dương bằng $2A$ thì $A$ là số hoàn chỉnh.

Lý thuyết khác dẽ post sau :D

Bài tập:

1. Tìm số dư khi chia $2014^{84}$ cho $13$.
2. Tìm số sư khi chia $15!$ cho $1000$
3. Xác định số chữ số ở phần tuần hoàn của $\dfrac{57}{59}$
4. Tìm số chữ số hàng chục của $2001^{2000}$
5. Tính tổng các ước chính phương của $234564$
6. Tìm UCLN của $23!$ và $157!$
7. Tìm số chữ số của $2^{4856}$
8. Giải phương trình $25^{x+3}=850$
9. Tính: $D=\dfrac{1}{0.00(1999)}+\dfrac{1}{0.000(1999)}+ \dfrac{1}{0.0000(1999)}$
 
Last edited by a moderator:
H

huynhbachkhoa23

Đa thức

Yêu cầu: Biết được cách sử dụng sơ đồ Hoocner.

Số dư khi chia $f(x)$ cho $x-a$ là $f(a)$

Ví dụ 1: Tìm số dư khi chia $f(x)=x^5+4x^2+3x+15$ cho $x-4$

Nhập toàn bộ đa thức vào máy: $X^5+4X^2+3X+15$

Ấn $\fbox{CALC}$, nhập $4$ và ấn $\fbox{=}$

Kết quả là $15$

Ví dụ 2: Xác định đa thức $f(x)$ bậc 3 biết $f(1)=f(2)=-15; f(3)=-9$

Ta làm như sau: Đặt $f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)+r(x)$

Với $r(1)=r(2)=-15; r(3)=-9$

$\rightarrow r(x)=3x^2-9x-9$

$f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)+3(x^2-3x-3)$

Tổng quát: Xác định $f(x)$ bậc $k$ và đã cho $k$ giá trị của $f(x)$ là $f(x_1); f(x_2);...;f(x_k)$
Trường hợp 1: Dãy $f(x_1);f(x_2);...;f(x_n)$ không đi theo một trật tự của đa thức bậc thấp hơn $k$. Lập hệ và giải.
Trường hợp 2: Dãy $f(x_1);f(x_2);...;f(x_k)$ không đi theo một trật tự của đa thức bậc thấp hơn $k$, thường là bậc 2, bậc 1. Ta đặt $f(x)=(x-x_1)(x-x_2).....(x-x_k)+r(x)$ sao cho $r(x_i)=f(x_i)\;\;\;(i=1,2,3,...,k)$

Cuối cùng là phải nắm được phương pháp hệ số bất định.

Bài tập:

1. Cho đa thức $D(x)$ bậc 7.
$D(1)=3; D(2)=10; D(3)=17; D(4)=24; D(-5)=-39; D(-6)=-46; D(-7)=-53$.
Tính $D(-8)$.

2. $F(x)=x^{2012}+x^{2011}+...+x^{2}+x+1$ và $G(x)=x^3-203x^2-x+203$

Tìm đa thức dư $R(x)$ khi chia $F(x)$ cho $G(x)$. Biết $R(0)=2013$ và $R(x)$ bậc 2.
 
Last edited by a moderator:
H

huy14112

1.1
2. chia hết
3. 58 (sai thì thôi :)))

........................................................
 
H

huynhbachkhoa23

Bài 8:

$x=\log_{25}(850)-3$

Bài 1:

$D(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x+5)(x+6)(x+7)+7x$

$\fbox{CALC}$

Bài 2:

$F(x)=Q(x).G(x)+R(x)\;\;\;(R(x)=ax^2+bx+c)$

$F(x)=(x-1)(x+1)(x-203).Q(x)+R(x)$

Đến đây dễ rồi :D
 

Sư tử lạnh lùng

Học sinh chăm học
Thành viên
25 Tháng mười một 2017
733
207
116
Nghệ An
Không biết
Yêu cầu khi bắt đầu vào: Nắm được đặc điểm của loại máy mà bạn sử dụng
Lưu ý: Các nút:
- Nút phân số mính sẽ gọi là $\fbox{dfrac}$
- Nút căn bậc 2 mình sẽ gọi là $\fbox{sqrt}$

Dạng 1: Tìm số dư.
Yếu cầu: Nắm toàn bộ lý thuyết đồng dư thức.

Định lý Fermat nhỏ: $a$ là một số nguyên dương bất kỳ và $p$ là số nguyên tố.

$a^{p}\equiv a\pmod{p}$

Định lý Fermat về tổng 2 số chính phương: $A,a,b\in \mathbb{N}^{*}$
a) $A\equiv 1 \pmod{4}$ thì $A=a^2+b^2$

b) Nếu $A=a^2+b^2$ thì $A\equiv 1\pmod{4}$

Phương pháp tìm số dư bằng máy Casio fx-570 VN Plus:
Ví dụ tìm số dư của $A$ khi chia cho $a$

Điều kiện số chữ số của $A$ nhỏ hơn hoặc bằng 10 chữ số.

Nhấn: $A \fbox{ALPHA}\fbox{dfrac} a$ và nhấn $\fbox{=}$

Ví dụ 1: Tìm số dư khi chia $987654321$ cho $12345$
Cách làm: $987654321$ có 9 chữ số.
Nhập $987654321 \fbox{ALPHA}\fbox{dfrac} 12345$ và nhấn $\fbox{=}$
Kết quả: $4941$

Ví dụ 2: Tìm số dư khi chia $2345678901234$ cho $4567$
Cách làm: Phân tích $2345678901234=234567890.10000+1234$

Tính số dư khi chia $234567890$ cho $4567$ bằng nút $\fbox{ALPHA}\fbox{dfrac}$: $2203$

Thay $234567890$ bởi $2203$, giờ chỉ cần tìm số dư của $22031234$ cho $4567$ là ra.

Kết quả: $26$

Ví dụ 3: Tìm số dư khi chia $2012^{67}$ cho $19$

Giờ chỉ nêu hướng làm, các thao tác làm như trên.

Cách giải: Khi gặp các dạng bài này luôn chú ý nhìn số chia trước, $19$ là số nguyên tố.

Phân tích $2012^{67}=2012^{3.19}.2012^{10}$

Có $2012^{2}\equiv 4\pmod{19}$
$\rightarrow 2012^{10}\equiv 4^{5}\equiv 17\pmod{19}$

$2012^{3}\equiv 11\pmod{19}$

Áp dụng định lý Fermat nhỏ: $2012^{3.19}\equiv 11^{19}\equiv 11 \pmod{19}$

Nhân vào $2012^{67}\equiv 11.17 \equiv 16\pmod{9}$

Ví dụ 4: Tìm số dư khi chia $2^3+3^4+4^5+...+10^{11}$ cho $17$

Cách giải:

Nhập và tính biểu thức này vào máy: $\sum\limits_{x=2}^{10}(X^{X+1})$

Được $1.036270636.10^{11}$

Giứ nguyên màn hình và ấn: $-1\text{x}10^{11}\fbox{=}$ được $3627063604$

Vậy $2^3+3^4+4^5+...+10^{11}=103627063604$

Giờ thì làm như ví dụ 2.

Và các dạng cơ bản khác sẽ được thầy cô dạy hoặc tham khảo sách hướng dẫn.

Dạng 2: Ước chung lớn nhất và bội chung hỏ nhất.

Tính năng tìm UCLN, BCNN của máy Casio fx-570 VN Plus:

Nút $\fbox{ALPHA}\fbox{GCD}$ ở dấu nhân là UCLN.
Nút $\fbox{ALPHA}\fbox{LCM}$ ở dấu chia là BCNN.

Giới hạn: Tìm được cho 2 số và 2 số đó có nhiều nhất 10 chữ số và kết quả cũng phải nhỏ hơn hoặc bằng 10 chữ số.

Thuật toán Euclid: $(a;b)=(b;r)$ nếu $a>b$

Công thức BCNN: $[a;b]=\dfrac{a.b}{(a;b)}$

Ví dụ 1: Tìm UCLN và BCNN của $2419580247$ và $3802197531$

Cách làm: Nhập vào màn hình: $GCD(2419580247, 3802197531)$ và nhấn $\fbox{=}$

Kết quả là $345654321$

Lưu ý, không thể chuyển GCD thành LCM được vì vượt quá giới hạn nêu trên.

Áp dụng công thức: Nhập $\dfrac{2419580247\text{x}3802197531}{Ans}$ bị tràn màn hình nhưng may mắn thay $\text{x10}^{10}$ nằm trong phạm vi lưu trữ chính xác của máy.

Nhấn tiếp $-2\text{x}10^{10}$ và ấn "bằng"

Kết quả là $6615382717$

Vậy $BCNN=26615382717$

Và các loại khác tương tự.

Dạng 3: Số thập phân vô hạn tuần hoàn:

Nút $\fbox{ALPHA}\fbox{sqrt}$ biểu diễn phần thập phân tuần hoàn.

Ví dụ 1: Viết số $3,(15)$ dưới dạng phân số hữu tỉ.

Ta nhập toàn bộ vào và được $\dfrac{104}{33}$

Ví dụ 2: Tính số chữ số trong phần tuần hoàn của $\dfrac{1}{49}$

Nhập $\dfrac{1}{49}$ và ấn $\fbox{=}$ và nhấn tiếp $S\leftrightarrow D$

Phần còn lại là ngồi đếm =))

Đối với các số như $\dfrac{97}{197}$ thì phải làm theo cách thông thường

Ví dụ 3: Tìm chữ số thứ 15 sau dấu phẩy của $\sqrt{2}$

Cách làm: $\sqrt{2}=1.41421356+a$

$\rightarrow a^2+1.41421356.a+1.41421356^2-2=0$

$1.41421356^2$ tính bằng "tay" và vào phương trình bậc 2 nhập vào. Tìm được $a$ rồi ghép vào là sẽ ra :D

Dạng 4: Logarit.

Đinh nghĩa: $a^{\alpha}=b$ thì $\alpha = \log_{a}(b)$ với $a,b>0$

$\log_k(b^{\alpha})=\alpha\log_{k}(b)$

Ứng dụng: Tính số chữ số của $6^{23}$

Như đã biết, $10^{x}$ có $[x]+1$ chữ số

Muốn tính số chữ số của $6^{23}$ ta phải biến đổi $6^{23}=10^{\alpha}$

Suy ra $[\alpha]+1 = [\log_{10}(6^{23})]+1=[23\log_{10}(6)]+1=18$

Vậy ...

Dạng 5: Số nguyên tố, Số hoàn chỉnh.

- Muốn kiểm tra tính nguyên tố, có 2 cách.

Cách 1: Sử dụng phím $FACT$. Lưu ý, giới hạn là $3$ chữ số

Cách 2: Muốn kiển tra $k$ là số nguyên tố thì tính $[\sqrt{k}]$ và cho vòng lặp:
Gán $A=[\sqrt{k}]$

Nhập: $\dfrac{k}{A}: A=A-1$

Nếu lặp từ $A \to 1$ mà $k$ không chia hết cho số nào thì $k$ nguyên tố.

- Số các ước dương:
Muốn tính số các ước dương của $A$, ta làm như sau:

Phân tích $A$ thành thừa số nguyên tố: $A=p_1^{a_1}.p_2^{a_2}.....p_n^{a_n}$

Số các ước dương chính bằng $(a_1+1)(a_2+1).....(a_n+1)$

Tổng các ước dương tính bằng $\dfrac{p_1^{a_1+1}.p_2^{a_2+1}.....p_n^{a_n+1}}{(p_1-1)(p_2-1).....(p_n-1)}$

Nếu $A$ có tổng các ước dương bằng $2A$ thì $A$ là số hoàn chỉnh.

Lý thuyết khác dẽ post sau :D

Bài tập:

1. Tìm số dư khi chia $2014^{84}$ cho $13$.
2. Tìm số sư khi chia $15!$ cho $1000$
3. Xác định số chữ số ở phần tuần hoàn của $\dfrac{57}{59}$
4. Tìm số chữ số hàng chục của $2001^{2000}$
5. Tính tổng các ước chính phương của $234564$
6. Tìm UCLN của $23!$ và $157!$
7. Tìm số chữ số của $2^{4856}$
8. Giải phương trình $25^{x+3}=850$
9. Tính: $D=\dfrac{1}{0.00(1999)}+\dfrac{1}{0.000(1999)}+ \dfrac{1}{0.0000(1999)}$
Máy của mình loại fx 570ES plus thì làm các dạng bài tập trên thế nào?
 

caolong.2008

Học sinh mới
9 Tháng sáu 2024
1
1
1
15
TP Hồ Chí Minh
Thread này vắng quá nên mình chia sẻ cách làm và đáp án 9 bài trên kia ;)
1) 2014^84 đồng dư (-1)^84 ( mod 13 ) nên đáp án là 1
2) * Tính chất : n! luôn có nhiều thừa số 2 hơn thừa số 5, nên n! có tận cùng bao nhiêu chữ số 0 thì sẽ có bấy nhiêu thừa số 5.
Mà 15! có thừa số 5 trong 5, 10, 15 nên 15! có 3 thừa số 5, suy ra nó tận cùng là 3 chữ số 0, vì thế nó chia hết cho 1000.
Đáp án là 0.
3) * Cách 1 : Bấm máy tính và dò, đếm ra được 58 chữ số thập phân tuần hoàn. ( Chắc chỉ áp dụng với các đời máy mới hơn )
* Cách 2 : Nhận thấy 59 là số nguyên tố, mà 57 và 59 là hai số nguyên tố cùng nhau ( aka (57, 59) = 1 )
Do đó nó sẽ có 58 chữ số thập phân tuần hoàn.
Tính chất này có vài ví dụ tương tự, như 1/7 có 6 chữ số tuần hoàn, 1/17 có 16 chữ số tuần hoàn ( tuy vậy vẫn có trường hợp đặc biệt, như 1/13 có 6 chữ số tuần hoàn )
4) 2001^2000 đồng dư 1 ( mod 100 ), do đó đáp án là 0
5) 234564 = 2^2.3.11.1777, do đó chỉ có 4 là ước chính phương của số này. Đáp án là 4
6) n>23 nên n! chia hết cho 23!, khi đó đáp án là 23! ( mở rộng : ghi rõ đáp án đến hàng đơn vị ;)) )
7) Dùng hàm loga như trên, ta được 2^4856 sẽ có giá trị khoảng 10^1461.8017 nên có 1462 chữ số.
8) x = (log cơ số 25 của 850) - 3 ~ -0, 9045
9) Quy về dạng 11111/0,(1999) = 11111/(1999/9999) = 111098889/1999.
Yêu cầu khi bắt đầu vào: Nắm được đặc điểm của loại máy mà bạn sử dụng
Lưu ý: Các nút:
- Nút phân số mính sẽ gọi là $\fbox{dfrac}$
- Nút căn bậc 2 mình sẽ gọi là $\fbox{sqrt}$

Dạng 1: Tìm số dư.
Yếu cầu: Nắm toàn bộ lý thuyết đồng dư thức.

Định lý Fermat nhỏ: $a$ là một số nguyên dương bất kỳ và $p$ là số nguyên tố.

$a^{p}\equiv a\pmod{p}$

Định lý Fermat về tổng 2 số chính phương: $A,a,b\in \mathbb{N}^{*}$
a) $A\equiv 1 \pmod{4}$ thì $A=a^2+b^2$

b) Nếu $A=a^2+b^2$ thì $A\equiv 1\pmod{4}$

Phương pháp tìm số dư bằng máy Casio fx-570 VN Plus:
Ví dụ tìm số dư của $A$ khi chia cho $a$

Điều kiện số chữ số của $A$ nhỏ hơn hoặc bằng 10 chữ số.

Nhấn: $A \fbox{ALPHA}\fbox{dfrac} a$ và nhấn $\fbox{=}$

Ví dụ 1: Tìm số dư khi chia $987654321$ cho $12345$
Cách làm: $987654321$ có 9 chữ số.
Nhập $987654321 \fbox{ALPHA}\fbox{dfrac} 12345$ và nhấn $\fbox{=}$
Kết quả: $4941$

Ví dụ 2: Tìm số dư khi chia $2345678901234$ cho $4567$
Cách làm: Phân tích $2345678901234=234567890.10000+1234$

Tính số dư khi chia $234567890$ cho $4567$ bằng nút $\fbox{ALPHA}\fbox{dfrac}$: $2203$

Thay $234567890$ bởi $2203$, giờ chỉ cần tìm số dư của $22031234$ cho $4567$ là ra.

Kết quả: $26$

Ví dụ 3: Tìm số dư khi chia $2012^{67}$ cho $19$

Giờ chỉ nêu hướng làm, các thao tác làm như trên.

Cách giải: Khi gặp các dạng bài này luôn chú ý nhìn số chia trước, $19$ là số nguyên tố.

Phân tích $2012^{67}=2012^{3.19}.2012^{10}$

Có $2012^{2}\equiv 4\pmod{19}$
$\rightarrow 2012^{10}\equiv 4^{5}\equiv 17\pmod{19}$

$2012^{3}\equiv 11\pmod{19}$

Áp dụng định lý Fermat nhỏ: $2012^{3.19}\equiv 11^{19}\equiv 11 \pmod{19}$

Nhân vào $2012^{67}\equiv 11.17 \equiv 16\pmod{9}$

Ví dụ 4: Tìm số dư khi chia $2^3+3^4+4^5+...+10^{11}$ cho $17$

Cách giải:

Nhập và tính biểu thức này vào máy: $\sum\limits_{x=2}^{10}(X^{X+1})$

Được $1.036270636.10^{11}$

Giứ nguyên màn hình và ấn: $-1\text{x}10^{11}\fbox{=}$ được $3627063604$

Vậy $2^3+3^4+4^5+...+10^{11}=103627063604$

Giờ thì làm như ví dụ 2.

Và các dạng cơ bản khác sẽ được thầy cô dạy hoặc tham khảo sách hướng dẫn.

Dạng 2: Ước chung lớn nhất và bội chung hỏ nhất.

Tính năng tìm UCLN, BCNN của máy Casio fx-570 VN Plus:

Nút $\fbox{ALPHA}\fbox{GCD}$ ở dấu nhân là UCLN.
Nút $\fbox{ALPHA}\fbox{LCM}$ ở dấu chia là BCNN.

Giới hạn: Tìm được cho 2 số và 2 số đó có nhiều nhất 10 chữ số và kết quả cũng phải nhỏ hơn hoặc bằng 10 chữ số.

Thuật toán Euclid: $(a;b)=(b;r)$ nếu $a>b$

Công thức BCNN: $[a;b]=\dfrac{a.b}{(a;b)}$

Ví dụ 1: Tìm UCLN và BCNN của $2419580247$ và $3802197531$

Cách làm: Nhập vào màn hình: $GCD(2419580247, 3802197531)$ và nhấn $\fbox{=}$

Kết quả là $345654321$

Lưu ý, không thể chuyển GCD thành LCM được vì vượt quá giới hạn nêu trên.

Áp dụng công thức: Nhập $\dfrac{2419580247\text{x}3802197531}{Ans}$ bị tràn màn hình nhưng may mắn thay $\text{x10}^{10}$ nằm trong phạm vi lưu trữ chính xác của máy.

Nhấn tiếp $-2\text{x}10^{10}$ và ấn "bằng"

Kết quả là $6615382717$

Vậy $BCNN=26615382717$

Và các loại khác tương tự.

Dạng 3: Số thập phân vô hạn tuần hoàn:

Nút $\fbox{ALPHA}\fbox{sqrt}$ biểu diễn phần thập phân tuần hoàn.

Ví dụ 1: Viết số $3,(15)$ dưới dạng phân số hữu tỉ.

Ta nhập toàn bộ vào và được $\dfrac{104}{33}$

Ví dụ 2: Tính số chữ số trong phần tuần hoàn của $\dfrac{1}{49}$

Nhập $\dfrac{1}{49}$ và ấn $\fbox{=}$ và nhấn tiếp $S\leftrightarrow D$

Phần còn lại là ngồi đếm =))

Đối với các số như $\dfrac{97}{197}$ thì phải làm theo cách thông thường

Ví dụ 3: Tìm chữ số thứ 15 sau dấu phẩy của $\sqrt{2}$

Cách làm: $\sqrt{2}=1.41421356+a$

$\rightarrow a^2+1.41421356.a+1.41421356^2-2=0$

$1.41421356^2$ tính bằng "tay" và vào phương trình bậc 2 nhập vào. Tìm được $a$ rồi ghép vào là sẽ ra :D

Dạng 4: Logarit.

Đinh nghĩa: $a^{\alpha}=b$ thì $\alpha = \log_{a}(b)$ với $a,b>0$

$\log_k(b^{\alpha})=\alpha\log_{k}(b)$

Ứng dụng: Tính số chữ số của $6^{23}$

Như đã biết, $10^{x}$ có $[x]+1$ chữ số

Muốn tính số chữ số của $6^{23}$ ta phải biến đổi $6^{23}=10^{\alpha}$

Suy ra $[\alpha]+1 = [\log_{10}(6^{23})]+1=[23\log_{10}(6)]+1=18$

Vậy ...

Dạng 5: Số nguyên tố, Số hoàn chỉnh.

- Muốn kiểm tra tính nguyên tố, có 2 cách.

Cách 1: Sử dụng phím $FACT$. Lưu ý, giới hạn là $3$ chữ số

Cách 2: Muốn kiển tra $k$ là số nguyên tố thì tính $[\sqrt{k}]$ và cho vòng lặp:
Gán $A=[\sqrt{k}]$

Nhập: $\dfrac{k}{A}: A=A-1$

Nếu lặp từ $A \to 1$ mà $k$ không chia hết cho số nào thì $k$ nguyên tố.

- Số các ước dương:
Muốn tính số các ước dương của $A$, ta làm như sau:

Phân tích $A$ thành thừa số nguyên tố: $A=p_1^{a_1}.p_2^{a_2}.....p_n^{a_n}$

Số các ước dương chính bằng $(a_1+1)(a_2+1).....(a_n+1)$

Tổng các ước dương tính bằng $\dfrac{p_1^{a_1+1}.p_2^{a_2+1}.....p_n^{a_n+1}}{(p_1-1)(p_2-1).....(p_n-1)}$

Nếu $A$ có tổng các ước dương bằng $2A$ thì $A$ là số hoàn chỉnh.

Lý thuyết khác dẽ post sau :D

Bài tập:

1. Tìm số dư khi chia $2014^{84}$ cho $13$.
2. Tìm số sư khi chia $15!$ cho $1000$
3. Xác định số chữ số ở phần tuần hoàn của $\dfrac{57}{59}$
4. Tìm số chữ số hàng chục của $2001^{2000}$
5. Tính tổng các ước chính phương của $234564$
6. Tìm UCLN của $23!$ và $157!$
7. Tìm số chữ số của $2^{4856}$
8. Giải phương trình $25^{x+3}=850$
9. Tính: $D=\dfrac{1}{0.00(1999)}+\dfrac{1}{0.000(1999)}+ \dfrac{1}{0.0000(1999)}$
 
  • Like
Reactions: anhcq2609zz
Top Bottom