hàm số y=x^4-2x^2-3
tìm m để đường thẳng y=m cắt đò thị tại 4 điểm phân biệt M,N,P,Q sao cho độ dài MN.NP.PQ là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác
Xét PT hoành độ giao điểm:
[TEX]x^4-2x^2-3-m=0(1)[/TEX]
Đặt [TEX]t=x^2 \geq 0 \Rightarrow (1) \Leftrightarrow t^2-2t-(m+3)=0(2)[/TEX]
Đường thẳng y=m cắt (C) tại 4 điểm phân biệt \Leftrightarrow (1) có 4 nghiệm phân biệt \Leftrightarrow (2) có 2 nghiệm phân biệt cùng dương
[TEX]\Leftrightarrow \Delta'=m+4 >0,S=2 >0, P=-m-3 > 0 \Leftrightarrow -4<m<-3 (*)[/TEX]
Khi đó (2) có 2 nghiệm phân biệt [TEX]0<t_1<t_2[/TEX]
\Rightarrow (1) có 4 nghiệm phân biệt [TEX]x_1=- \sqrt{t_2},x_2=- \sqrt{t_1},x_3= \sqrt{t_1},x_4= \sqrt{t_2}[/TEX]
\Rightarrow Tọa độ các giao điểm là:
[TEX]M(x_1;m),N(x_2;m),P(x_3;m),Q(x_4;m)[/TEX]
Do tính đối xứng của đồ thị (C) ( đối xứng qua Oy) nên MN=PQ
Do vậy MN,NP,PQ là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác \Leftrightarrow MN+PQ \geq NP
\Leftrightarrow NP \leq 2MN
[TEX]NP^2 \leq 4MN^2 \Leftrightarrow (x_3-x_2)^2 \leq 4(x_2-x_1)^2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow ( \sqrt{t_2}+ \sqrt{t_1})^2 \leq 4( \sqrt{t_2}- \sqrt{t_1})^2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 3(t_1+t_2)-10 \sqrt{t_1t_2} \geq 0 \Leftrightarrow 100t_1t_2 \leq 9(t_1+t_2)^2 (3)[/TEX]
Áp dụng định lý Vi-ét cho PT (2) ta được:
[TEX]t_1+t_2=2,t_1t_2=-(m+3)[/TEX]
Thay vào (3) ta được:
[TEX] -100(m+3) \leq 36 \Leftrightarrow m \geq -3,36[/TEX] kết hợp với (*) suy ra:
[TEX] -3,36 \leq m < -3[/TEX]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn