- 27 Tháng mười 2018
- 3,742
- 3,705
- 561
- Hà Nội
- Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Với các bài toán tương giao về biện luận tham số m để số nghiệm của pt f(x)=0 thỏa mãn điều kiện, thường gặp nhất thì đa thức f(x) là hàm bậc 3. Với chương trình 12 thì có thể có dạng cô lập tham số m và x sau đó lập BBT. Còn có những bài toán không cần cô lập mà có thể phân tích nhân tử nhanh chóng để biện luận.
Vậy cách phân tích như thế nào?
Để phân tích được thì đầu tiên cần phải có được ít nhất 1 nghiệm của phương trình đó. Nếu ta biết pt có nghiệm x=a thì nhân tử phải có sẽ là (x-a). Khi đó, ta có thể phân tích được f(x) thành nhân tử.
1.Tìm m để đồ thị hàm f(x): [TEX]x^3-(m+1)x^2+(m-2m^2)x+2m^2[/TEX] cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt
Giải: Ta có pt hoành độ giao điểm : [TEX]x^3-(m+1)x^2+(m-2m^2)x+2m^2=0[/TEX](1)
Pt này cần có 3 nghiệm phân biệt. Vậy ta cần tìm nhân tử. Nhân tử dễ tìm nhất đó là dang (x-a) với a là hằng số.
Cách tìm nhân tử: hãy cho đại 1 giá trị của m, ví dụ m=0, ta được pt:
[TEX]x^3-x^2=0[/TEX], bấm máy tính có nghiệm x=0, x=1
Chọn tiếp m=-1, thì ta có pt: [TEX]x^3-3x+2=0[/TEX], bấm máy ta lại thấy nghiệm x=1 , và x=-2
Vậy rõ ràng với 2 giá trị m khác nhau ta thấy đều có nghiệm x=1, nên ta đoán ngay x=1 là nghiệm cố định với mọi m, vậy đa thức phải có nhân tử (x-1)
Đến đây ta có thể đặt chia đa thức để phân tích, cách chia thì mình không nói lại.
Còn như mình thường phân tích luôn mà không cần chia đa thức, như sau:
[TEX]x^3-(m+1)x^2+(m-2m^2)x+2m^2=(x-1)(...)[/TEX]
Chắc chắn số hạng đầu tiên của nhân tử còn thiếu phải là x^2 :
[TEX](x-1)(x^2....)[/TEX] , khi ta nhân phá ra sẽ có [TEX]x^3-x^2[/TEX] trong khi ở bên kia là [TEX]-mx^2-x^2[/TEX], như vậy ta phải trừ thêm cho [TEX]mx^2[/TEX] nữa mới cân bằng.
Do đó số hạng tiếp theo sẽ là: [TEX](x-1)(x^2-mx)[/TEX] đơn giản là vì [TEX]-mx[/TEX] khi nhân phá ngoặc ra sẽ xuất hiện [TEX]-mx^2[/TEX].
Cuối cùng là hệ số tự do, cái này là đơn giản nhất. Hệ số tự do nhân với (-1) sẽ phải bằng với hệ số tự do của đa thức ban đầu, tức [TEX]2m^2[/TEX]. Vậy ta có:
[TEX]x^3-(m+1)x^2+(m-2m^2)x+2m^2=(x-1)(x^2-mx-2m^2)[/TEX]
Nhìn chung phân tích rất nhanh và đơn giản, nhanh hơn chia đa thức nhiều. Nhưng nói vậy thôi chứ mình từng thử nghiệm với 2 bạn lớp 12 thì cả 2 bạn đều không ai thực hiện được. Mình cũng chẳng hiểu sao, nên ai thấy khó thì cứ chăm chỉ theo hướng chia đa thức!
Đến đây thì biện luận sao cho pt [TEX]x^2-mx-2m^2=0[/TEX] có 2 nghiệm phân biệt khác 1 là xong. Bài này chỉ chủ yếu tập trung vào phân tích nhân tử.
2: Phân tích: [TEX]x^3+(2-m)x^2+(3-2m)x-3m[/TEX] thành nhân tử.
Tương tự tư tưởng trên, ta thử với m=2, được pt:
[TEX]x^3-x-6=0[/TEX] bấm máy có x=2
Tiếp tục m=0 thì có: [TEX]x^3+2x^2+3x=0[/TEX] có nghiệm x=0
Ủa 2 nghiệm khác nhau. Nhưng ta để ý thấy 2 nghiệm khác nhau nhưng có vẻ nó bằng m
Vậy thử thêm m=10 cho chắc:
[TEX]x^3-8x^2-17x-30[/TEX] bấm máy có x=10 là nghiệm
Vậy ta biết được nhân tử sẽ là (x-m).
Đây là dạng phức tạp hơn vì nghiệm là tham số. Khi nghi ngờ nghiệm là tham số hãy thử với m lớn cỡ 10,20 ...thì sẽ dễ nhân ra hơn.
Vậy cách phân tích như thế nào?
Để phân tích được thì đầu tiên cần phải có được ít nhất 1 nghiệm của phương trình đó. Nếu ta biết pt có nghiệm x=a thì nhân tử phải có sẽ là (x-a). Khi đó, ta có thể phân tích được f(x) thành nhân tử.
1.Tìm m để đồ thị hàm f(x): [TEX]x^3-(m+1)x^2+(m-2m^2)x+2m^2[/TEX] cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt
Giải: Ta có pt hoành độ giao điểm : [TEX]x^3-(m+1)x^2+(m-2m^2)x+2m^2=0[/TEX](1)
Pt này cần có 3 nghiệm phân biệt. Vậy ta cần tìm nhân tử. Nhân tử dễ tìm nhất đó là dang (x-a) với a là hằng số.
Cách tìm nhân tử: hãy cho đại 1 giá trị của m, ví dụ m=0, ta được pt:
[TEX]x^3-x^2=0[/TEX], bấm máy tính có nghiệm x=0, x=1
Chọn tiếp m=-1, thì ta có pt: [TEX]x^3-3x+2=0[/TEX], bấm máy ta lại thấy nghiệm x=1 , và x=-2
Vậy rõ ràng với 2 giá trị m khác nhau ta thấy đều có nghiệm x=1, nên ta đoán ngay x=1 là nghiệm cố định với mọi m, vậy đa thức phải có nhân tử (x-1)
Đến đây ta có thể đặt chia đa thức để phân tích, cách chia thì mình không nói lại.
Còn như mình thường phân tích luôn mà không cần chia đa thức, như sau:
[TEX]x^3-(m+1)x^2+(m-2m^2)x+2m^2=(x-1)(...)[/TEX]
Chắc chắn số hạng đầu tiên của nhân tử còn thiếu phải là x^2 :
[TEX](x-1)(x^2....)[/TEX] , khi ta nhân phá ra sẽ có [TEX]x^3-x^2[/TEX] trong khi ở bên kia là [TEX]-mx^2-x^2[/TEX], như vậy ta phải trừ thêm cho [TEX]mx^2[/TEX] nữa mới cân bằng.
Do đó số hạng tiếp theo sẽ là: [TEX](x-1)(x^2-mx)[/TEX] đơn giản là vì [TEX]-mx[/TEX] khi nhân phá ngoặc ra sẽ xuất hiện [TEX]-mx^2[/TEX].
Cuối cùng là hệ số tự do, cái này là đơn giản nhất. Hệ số tự do nhân với (-1) sẽ phải bằng với hệ số tự do của đa thức ban đầu, tức [TEX]2m^2[/TEX]. Vậy ta có:
[TEX]x^3-(m+1)x^2+(m-2m^2)x+2m^2=(x-1)(x^2-mx-2m^2)[/TEX]
Nhìn chung phân tích rất nhanh và đơn giản, nhanh hơn chia đa thức nhiều. Nhưng nói vậy thôi chứ mình từng thử nghiệm với 2 bạn lớp 12 thì cả 2 bạn đều không ai thực hiện được. Mình cũng chẳng hiểu sao, nên ai thấy khó thì cứ chăm chỉ theo hướng chia đa thức!
Đến đây thì biện luận sao cho pt [TEX]x^2-mx-2m^2=0[/TEX] có 2 nghiệm phân biệt khác 1 là xong. Bài này chỉ chủ yếu tập trung vào phân tích nhân tử.
2: Phân tích: [TEX]x^3+(2-m)x^2+(3-2m)x-3m[/TEX] thành nhân tử.
Tương tự tư tưởng trên, ta thử với m=2, được pt:
[TEX]x^3-x-6=0[/TEX] bấm máy có x=2
Tiếp tục m=0 thì có: [TEX]x^3+2x^2+3x=0[/TEX] có nghiệm x=0
Ủa 2 nghiệm khác nhau. Nhưng ta để ý thấy 2 nghiệm khác nhau nhưng có vẻ nó bằng m
Vậy thử thêm m=10 cho chắc:
[TEX]x^3-8x^2-17x-30[/TEX] bấm máy có x=10 là nghiệm
Vậy ta biết được nhân tử sẽ là (x-m).
Đây là dạng phức tạp hơn vì nghiệm là tham số. Khi nghi ngờ nghiệm là tham số hãy thử với m lớn cỡ 10,20 ...thì sẽ dễ nhân ra hơn.
