Toán [Các kĩ thuật CM Bất Đẳng Thức] Ôn luyện học sinh giỏi_thầy Trần Phương

[hocmai.toanhoc]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

BẤT ĐẲNG THỨC​

Hi all,
Bất đẳng thức vẫn luôn là 1 trong những thử thách khó khăn trong các cuộc thi.
Bởi vậy toppic được mở ra với mục đích tìm hiểu, học hỏi, rèn luyện các phương pháp chứng minh BĐT hoặc các bài toán Max, Min phục vụ nhu cầu cho các bạn thi học sinh giỏi hay kì thi tuyển sinh vào các trường Đại học.

Nội dung của pic:
+ Dựa trên các kiến thức các kĩ thuật CM BĐT mà thầy Trần Phương đề cập đến trong khoá luyện thi học sinh giỏi
- Pic cung cấp các lý thuyết của của gần 30 phương pháp, kĩ thuật CM BĐT
- Cung cấp các bài tập đi kèm từ cơ bản đến nâng cao tương ứng với từng phần lý thuyết bên trên
+ Với 1 bài BĐT có thể có rất nhiều phương pháp để giải=> khuyến cáo với các bài tập ở phần phương pháp nào thì ta ưu tiên sử dụng phương pháp đó để giải quyết roài mới hãy sử dụng các pp khác.

Các bài tập ở đây toàn bộ được thầy Trần Phương cung cấp

Hi vọng qua Pic này các bạn thêm được phần nào về kĩ năng CM BĐT, thấy BĐT gần gũi hơn tuy khó mà hay

 

[hocmai.toanhoc]

1. BẤT ĐẲNG THỨC CÔ - SI​

a. Kĩ thuật chuyển từ trung bình cộng sang trung bình nhân

Dạng chính tắc BĐT Cô- si: Cho các a_i là các số không âm khi đó:
[TEX]\frac{{{a_1} + ..... + {a_n}}}{n} \ge \sqrt[n]{{{a_1}....{a_n}}}[/TEX]
=> thường dùng cho các bài toán có căn thức
Các dạng khác:
1. [TEX]{a_1} + ..... + {a_n} \ge n.\sqrt[n]{{{a_1}....{a_n}}}[/TEX]
2. [TEX]{\left( {\frac{{{a_1} + ..... + {a_n}}}{n}} \right)^n} \ge {a_1}....{a_n}[/TEX]
dạng 2: thường áp dụng cho các bài toán không chứa căn.

Bài tập

1. Chứng minh rằng: [TEX]{\left( {2 + \frac{a}{b}} \right)^\alpha } + {\left( {2 + \frac{b}{c}} \right)^\alpha } + {\left( {2 + \frac{c}{a}} \right)^\alpha } \ge {3^{\alpha + 1}}\quad \forall a,b,c > 0[/TEX]

2. Cho $a,b,c > 0; abc = 1$. Chứng minh rằng: $ a + \frac{1}{2}{b^2} + \frac{1}{3}{c^3} \ge \frac{{11}}{6}$

3. CMR: ${8^a} + {8^b} + {8^c} \ge {2^a} + {2^b} + {2^c}$, \forall a + b + c = 0

4. Cho $a, b, c >0; a. b. c = 1$. Chứng minh rằng: $(a + b)(b + c)(c + a) \ge 2(1 + a + b + c)$

5. Cho $a > b > c > 0 ; a \le 3; ab \le 6 ; abc \le 6$.Chứng minh rằng: $a + b + c \le 6$

6. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: $a + b + c + 6 \le (abc + 1)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) + \frac{a}{c} + \frac{c}{b} + \frac{b}{a}$

7. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: $\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)\left( {\frac{1}{{{a^3}}} + \frac{1}{{{b^3}}} + \frac{1}{{{c^3}}}} \right) \ge \frac{3}{2}\left( {\frac{{b + c}}{a} + \frac{{c + a}}{b} + \frac{{a + b}}{c}} \right)$

8. Cho ${a_1},{a_2},...,{a_n} > 0, n\le 3$. Chứng minh rằng: $\dfrac{{a_1^2 + {a_2}{a_3}}}{{{a_1}({a_2} + {a_3})}} + \dfrac{{a_2^2 + {a_3}{a_1}}}{{{a_2}({a_3} + {a_1})}} + ... + \dfrac{{a_{n - 1}^2 + {a_n}{a_1}}}{{{a_{n - 1}}({a_n} + {a_1})}} + \dfrac{{a_n^2 + {a_1}{a_2}}}{{{a_n}({a_1} + {a_2})}} \ge n$

 

[forum_]

4/

Đặt: $abc=r$ ; $a+b+c=p$; $ab+bc+ca=q$

Có các BĐT đúng sau: $p^3$ \geq $27r = 27$ \Rightarrow p \geq 3

$q^2$ \geq $3pr$ \geq 3

Ta có: r=1

BĐT cần c/m trở thành:

$pq-1$ \geq $2.(1+p)$

\Leftrightarrow p(q-2) \geq 3

(luôn đúng)

 

[soccan]

$5)$
từ gt suy ra $b \le 2; c \le 1$
nên $a+b+c \le 3+2+1=6$
em không biết dùng $Cauchy$ thế nào vào bài này =))

 

[huynhbachkhoa23]

$5)$
từ gt suy ra $b \le 2; c \le 1$
nên $a+b+c \le 3+2+1=6$
em không biết dùng $Cauchy$ thế nào vào bài này =))

Bài của bạn không đạt yêu cầu nên mình không thể xác nhận ). Phải dùng Cauchy. (Abel nữa)
Thứ nhất $a\le 3$ với $ab\le 6$ không có vụ $b\le 2$, giả sử $a=2.2, b=2.1$ thì sao

 

[forum_]

5/

Ta có $6=1+2+3=a(\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{3}{c})+(b-a)(\dfrac{2}{b}+\dfrac{3}{c})+(c-b)\dfrac{3}{c}$
\Rightarrow 6 \geq $3a\sqrt[3]{\dfrac{6}{abc}}+2(b-a)\sqrt{\dfrac{6}{bc}}+(c-b)\dfrac{3}{c}$ \geq $a+b+c$ (đpcm)

 

[huynhbachkhoa23]

$6=a.\dfrac{3}{a}+b\dfrac{2}{b}+c.\dfrac{1}{c} =(a-b).\dfrac{3}{a}+(b-c)\left(\dfrac{3}{a}+\dfrac{2}{b} \right) + c \left(\dfrac{3}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{1}{c} \right)$ mới đúng tại có $a>b>c$

 

[hocmai.toanhoc]

4/

Đặt: $abc=r$ ; $a+b+c=p$; $ab+bc+ca=q$

Có các BĐT đúng sau: $p^3$ \geq $27r = 27$ \Rightarrow p \geq 3

$q^2$ \geq $3pr$ \geq 3

Ta có: r=1

BĐT cần c/m trở thành:

$pq-1$ \geq $2.(1+p)$

\Leftrightarrow p(q-2) \geq 3

(luôn đúng)

p(q-2) \geq 3 anh không thấy luôn đúng , như trên thì có $q^2$ \geq $3pr$ \geq 3
thì q-2 vẫn có thể <0 mà em?

 

[hocmai.toanhoc]

$5)$
từ gt suy ra $b \le 2; c \le 1$
nên $a+b+c \le 3+2+1=6$
em không biết dùng $Cauchy$ thế nào vào bài này =))

Vấn đề là thầy gửi cho anh những bài tập này đều thuộc phần Cauchy hết :v

 

[hocmai.toanhoc]

Sorry các em anh tạo ra topic mà không hoàn thành nó @@! Thầy phương chuyển công tác cũng không dạy khoá học sinh giỏi nữa . Chân thành xin lỗi mọi người.