Toán [Các kĩ thuật CM Bất Đẳng Thức] Ôn luyện học sinh giỏi_thầy Trần Phương

Thảo luận trong 'Thảo luận chung' bắt đầu bởi hocmai.toanhoc, 26 Tháng chín 2014.

Lượt xem: 1,720

Trạng thái chủ đề:
Không mở trả lời sau này.

  1. Sở hữu bí kíp ĐỖ ĐẠI HỌC ít nhất 24đ - Đặt chỗ ngay!

    Đọc sách & cùng chia sẻ cảm nhận về sách số 2


    Chào bạn mới. Bạn hãy đăng nhập và hỗ trợ thành viên môn học bạn học tốt. Cộng đồng sẽ hỗ trợ bạn CHÂN THÀNH khi bạn cần trợ giúp. Đừng chỉ nghĩ cho riêng mình. Hãy cho đi để cuộc sống này ý nghĩa hơn bạn nhé. Yêu thương!

    BẤT ĐẲNG THỨC

    Hi all,
    Bất đẳng thức vẫn luôn là 1 trong những thử thách khó khăn trong các cuộc thi.
    Bởi vậy toppic được mở ra với mục đích tìm hiểu, học hỏi, rèn luyện các phương pháp chứng minh BĐT hoặc các bài toán Max, Min phục vụ nhu cầu cho các bạn thi học sinh giỏi hay kì thi tuyển sinh vào các trường Đại học.

    Nội dung của pic:
    + Dựa trên các kiến thức các kĩ thuật CM BĐT mà thầy Trần Phương đề cập đến trong khoá luyện thi học sinh giỏi
    - Pic cung cấp các lý thuyết của của gần 30 phương pháp, kĩ thuật CM BĐT
    - Cung cấp các bài tập đi kèm từ cơ bản đến nâng cao tương ứng với từng phần lý thuyết bên trên
    + Với 1 bài BĐT có thể có rất nhiều phương pháp để giải=> khuyến cáo với các bài tập ở phần phương pháp nào thì ta ưu tiên sử dụng phương pháp đó để giải quyết roài mới hãy sử dụng các pp khác.

    Các bài tập ở đây toàn bộ được thầy Trần Phương cung cấp :D

    Hi vọng qua Pic này các bạn thêm được phần nào về kĩ năng CM BĐT, thấy BĐT gần gũi hơn tuy khó mà hay ;)
     
  2. 1. BẤT ĐẲNG THỨC CÔ - SI ​



    a. Kĩ thuật chuyển từ trung bình cộng sang trung bình nhân

    Dạng chính tắc BĐT Cô- si: Cho các a_i là các số không âm khi đó:
    [TEX]\frac{{{a_1} + ..... + {a_n}}}{n} \ge \sqrt[n]{{{a_1}....{a_n}}}[/TEX]
    => thường dùng cho các bài toán có căn thức
    Các dạng khác:
    1. [TEX]{a_1} + ..... + {a_n} \ge n.\sqrt[n]{{{a_1}....{a_n}}}[/TEX]
    2. [TEX]{\left( {\frac{{{a_1} + ..... + {a_n}}}{n}} \right)^n} \ge {a_1}....{a_n}[/TEX]
    dạng 2: thường áp dụng cho các bài toán không chứa căn.

    Bài tập

    1. Chứng minh rằng: [TEX]{\left( {2 + \frac{a}{b}} \right)^\alpha } + {\left( {2 + \frac{b}{c}} \right)^\alpha } + {\left( {2 + \frac{c}{a}} \right)^\alpha } \ge {3^{\alpha + 1}}\quad \forall a,b,c > 0[/TEX]

    2. Cho $a,b,c > 0; abc = 1$. Chứng minh rằng: $ a + \frac{1}{2}{b^2} + \frac{1}{3}{c^3} \ge \frac{{11}}{6}$

    3. CMR: ${8^a} + {8^b} + {8^c} \ge {2^a} + {2^b} + {2^c}$, \forall a + b + c = 0

    4. Cho $a, b, c >0; a. b. c = 1$. Chứng minh rằng: $(a + b)(b + c)(c + a) \ge 2(1 + a + b + c)$

    5. Cho $a > b > c > 0 ; a \le 3; ab \le 6 ; abc \le 6$.Chứng minh rằng: $a + b + c \le 6$

    6. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: $a + b + c + 6 \le (abc + 1)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) + \frac{a}{c} + \frac{c}{b} + \frac{b}{a}$

    7. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: $\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)\left( {\frac{1}{{{a^3}}} + \frac{1}{{{b^3}}} + \frac{1}{{{c^3}}}} \right) \ge \frac{3}{2}\left( {\frac{{b + c}}{a} + \frac{{c + a}}{b} + \frac{{a + b}}{c}} \right)$

    8. Cho ${a_1},{a_2},...,{a_n} > 0, n\le 3$. Chứng minh rằng: $\dfrac{{a_1^2 + {a_2}{a_3}}}{{{a_1}({a_2} + {a_3})}} + \dfrac{{a_2^2 + {a_3}{a_1}}}{{{a_2}({a_3} + {a_1})}} + ... + \dfrac{{a_{n - 1}^2 + {a_n}{a_1}}}{{{a_{n - 1}}({a_n} + {a_1})}} + \dfrac{{a_n^2 + {a_1}{a_2}}}{{{a_n}({a_1} + {a_2})}} \ge n$

     
  3. forum_

    forum_ Guest

    4/

    Đặt: $abc=r$ ; $a+b+c=p$; $ab+bc+ca=q$

    Có các BĐT đúng sau: $p^3$ \geq $27r = 27$ \Rightarrow p \geq 3

    $q^2$ \geq $3pr$ \geq 3

    Ta có: r=1

    BĐT cần c/m trở thành:

    $pq-1$ \geq $2.(1+p)$

    \Leftrightarrow p(q-2) \geq 3

    (luôn đúng)
     
  4. soccan

    soccan Guest

    $5)$
    từ gt suy ra $b \le 2; c \le 1$
    nên $a+b+c \le 3+2+1=6$
    em không biết dùng $Cauchy$ thế nào vào bài này =))
     
  5. Bài của bạn không đạt yêu cầu nên mình không thể xác nhận :)). Phải dùng Cauchy. (Abel nữa)
    Thứ nhất $a\le 3$ với $ab\le 6$ không có vụ $b\le 2$, giả sử $a=2.2, b=2.1$ thì sao
     
    Last edited by a moderator: 13 Tháng mười hai 2014
  6. forum_

    forum_ Guest

    5/

    Ta có $6=1+2+3=a(\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{3}{c})+(b-a)(\dfrac{2}{b}+\dfrac{3}{c})+(c-b)\dfrac{3}{c}$
    \Rightarrow 6 \geq $3a\sqrt[3]{\dfrac{6}{abc}}+2(b-a)\sqrt{\dfrac{6}{bc}}+(c-b)\dfrac{3}{c}$ \geq $a+b+c$ (đpcm)

     
    Last edited by a moderator: 13 Tháng mười hai 2014
  7. $6=a.\dfrac{3}{a}+b\dfrac{2}{b}+c.\dfrac{1}{c} =(a-b).\dfrac{3}{a}+(b-c)\left(\dfrac{3}{a}+\dfrac{2}{b} \right) + c \left(\dfrac{3}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{1}{c} \right)$ mới đúng tại có $a>b>c$
     
  8. p(q-2) \geq 3 anh không thấy luôn đúng :D, như trên thì có $q^2$ \geq $3pr$ \geq 3
    thì q-2 vẫn có thể <0 mà em?
     
  9. Vấn đề là thầy gửi cho anh những bài tập này đều thuộc phần Cauchy hết :v
     
  10. Sorry các em anh tạo ra topic mà không hoàn thành nó @@! Thầy phương chuyển công tác cũng không dạy khoá học sinh giỏi nữa :(. Chân thành xin lỗi mọi người.
     
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted
Trạng thái chủ đề:
Không mở trả lời sau này.

CHIA SẺ TRANG NÀY

-->