Các đẳng thức lượng giác trong tam giác

duynhan1 · 11 Tháng năm 2011

giaosu_fanting_thientai · 12 Tháng năm 2011

1. Định lý hàm số sin.

[TEX]\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R[/TEX]

[TEX]sinA=sin \widehat{HOC}=\frac{HC}{OC}={\frac{A}{2}}.\frac{1}{R}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \frac{a}{sinA}=2R[/TEX]

Các công thức khác c/m tương tự.

2. Định lý hàm số cos.

Chứng minh cái đại diện: [TEX]b^2=a^2+c^2-2a.c.cosB[/TEX]

[TEX]b^2=AH^2+HC^2=AB^2-BH^2+(BC-BH)^2=AB^2-BH^2+BC^2-2BC.BH+BH^2[/TEX]

[TEX]=AB^2+BC^2-2AB.BC.cosB=a^2+c^2-2a.c.cosB[/TEX]

Chứng minh luôn công thức: [TEX]a=b.cosC+c.cosB[/TEX]
[TEX]a= BH+HC=b.cosC+c.cosB[/TEX]

3. Định lý hàm số tan

[TEX]\frac{a-b}{a+b} = \frac{tan\frac{A-B}{2}}{tan\frac {A-B}{2}}[/TEX]

Trên BC lấy D, trên tia đối của tia CB lấy E sao cho AC=CD=CE=b

\Rightarrow [tex]\large\Delta DAE[/tex] là tam giác vuông tại A

Ta có [TEX]A_1+A_2=A[/TEX]

[TEX]A_1-A_2=D_1-A_2=B[/TEX] (Tính chất góc ngoài)

[TEX] \Rightarrow A_1=\frac{A+B}{2} ; A_2=\frac{A-B}{2}[/TEX]

Kẻ DF//AE \Rightarrow AD vuông góc FD

Theo talet:

[TEX]\frac{DF}{AE}=\frac{BD}{BE}=\frac{a-b}{a+b} \ \ \ \ (1)[/TEX]

Tam giác ADF vuông tại D [TEX]\Rightarrow DF=AD.tanA_2=AD.tan\frac{ A-B}{2}\ \ \ \ (2)[/TEX]

Tam giác ADE vuông tại A [TEX]\Rightarrow AE=AD.tanD_1=AD.tan\frac{A+B}{2} \ \ \ \ (3)[/TEX]

[TEX]Tu (1); (2);(3) \Rightarrow dpcm[/TEX]

4. Định lý hàm số cot.

[TEX]cotA=\frac{b^2+c^2-a^2}{4S}[/TEX]

[TEX]a^2=b^2+c^2-2b.c.cosA=b^2+c^2-2bc. sinA .cotA.=b^2+c^2-4S.cotA[/TEX]

[TEX]\Rightarrow cotA=\frac{b^2+c^2-a^2}{4S}[/TEX]

5. Công thức diện tích

[TEX]S=\frac{1}{2}a.h=\frac{1}{2}a.c.sinB[/TEX]

Theo ĐL hs sin:[TEX]a=2RsinA; c=2R.sinC[/TEX]

[TEX]\Rightarrow S=\frac{1}{2}a.c.sinB=2R^2.sinA.sinB.sinC[/TEX]

Lại có [TEX]sinB=\frac{b}{2R} \Rightarrow S=\frac{abc}{4R}[/TEX]

[TEX]S_{ABC}=S_{AIB}+S_{BIC}+S_{AIC}[/TEX]

[TEX]=\frac{r.c}{2}+\frac{r.a}{2}+\frac{r.b}{2}=\frac{r.(a+b+c)}{2}=pr[/TEX]

[TEX]S=pr=p.AM.tan{\frac{A}{2}}=p(p-a)tan{\frac{A}{2}}=(p-a)r_a[/TEX]

Công thức herong

6. Công thức trung tuyến.

[TEX]m_a^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}[/TEX]

[TEX]\vec{AB}= \vec{AM}+\vec{MB}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow AB^2=AM^2+MB^2+2.(\vec{AM}.\vec{MB} \ \ \ \ \ (1)[/TEX]

[TEX]\vec{AC}=(\vec{AM}+\vec{MC}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow AC^2=AM^2+MC^2+2(\vec{AM}.\vec{MC}) \ \ \ \ \ (2)[/TEX]

[TEX]Tu \ (1) \ & \ (2) \Rightarrow AB^2+AC^2= 2AM^2+2(\frac{BC}{2})^2 + 2\vec{AM} (\vec{MB}+\vec{MC})[/TEX]

[TEX]\Rightarrow m_a^2=\frac{AB^2+AC^2}{4}- \frac{BC^2}{4}=\frac{c^2+b^2}{4}- \frac{a^2}{4}= \frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}[/TEX]

7. Công thức phân giác.

[TEX]l_a=\frac{2b.c.cos{{\frac{A}{2}}}}{b+c}[/TEX]

[TEX]S_{ABC}=S_{ABD}+S_{ACD}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{b.c.sinA}{2}=\frac{1}{2}c.l_a.sin{{\frac{A}{2}}}+\frac{1}{2}b.l_a.sin{{\frac{A}{2}}}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{1}{2}b.c.2.sin{{\frac{A}{2}}}.cos {{\frac{A}{2}}=\frac{1}{2}l_a.(b+c).sin{{\frac{A}{2}}}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow l_a=\frac{2b.c.cos{{\frac{A}{2}}}}{b+c}[/TEX]

8. Bán kính đường tròn nội tiếp

[TEX]r=(p-a).tan{\frac{A}{2}}[/TEX]

Theo t/c tiếp tuyến : [TEX]AP=AM; BM=BN; CN=CP[/TEX]

[TEX]\Rightarrow AM+BN+CN=p \Rightarrow AM=p-(BN+CN)=p-a[/TEX]

[TEX] \Rightarrow r=IM=IN=IP=AM.tan{\frac{A}{2}}=(p-a)tan{\frac{A}{2}}[/TEX]

[TEX]r=4R.sin{\frac{A}{2}}sin{\frac{B}{2}}sin{\frac{C}{2}}[/TEX]

[TEX]BC=BN+NC[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 2RsinA=r(cot{\frac{B}{2}}+cot{\frac{C}{2}})[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 4Rsin{\frac{A}{2}}cos{\frac{A}{2}} =r\frac{sin\frac{B+C}{2}}{sin{\frac{B}{2}}sin{\frac{C}{2}}} =r\frac{cos{\frac{A}{2}}}{sin{\frac{B}{2}}sin{\frac{C}{2}}}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow r=4R.sin{\frac{A}{2}}sin{\frac{B}{2}}sin{\frac{C}{2}}[/TEX]

9.Bán kính đường tròn ngoại tiếp.

Suy từ định lý h/s sin.

10. Bán kính đường tròn bàng tiếp.

[TEX]r_a=p.tan{\frac{A}{2}}[/TEX]

[TEX] AN=AP; BN=BM; CM=CP[/TEX]

[TEX]2p=AB+BC+CA=AB+BM+MC+CA=AB+BN+CP+AC=AN+AP[/TEX]

[TEX]\Rightarrow AN=AP=p \Rightarrow r_a=IN=IP=IM=AN.tan{\frac{A}{2}}=p.tan{\frac{A}{2}}[/TEX]

[TEX]11. \ \ \ sin{{\frac{A}{2}}}=\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{bc}}[/TEX]

Từ định lý h/s cos [TEX]\Rightarrow cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}[/TEX]

[TEX]sin{{\frac{A}{2}}}=\sqrt{\frac{1-cosA}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{(p-b)(p-c)}{bc}}{2}}=\sqrt{\frac{a^2-(b-c)^2}{4bc}} sqrt{\frac{(a+b-c)(a-b+c)}{4bc}}=\sqrt{\frac{2(p-b)2(p-c)}{4bc}}=\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{bc}}[/TEX]

[TEX] cos{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{p(p-a)}{bc}}[/TEX] chứng minh tương tự

[TEX]tan{\frac{A}{2}}=\frac{sin{{\frac{A}{2}}}}{cos{{\frac{A}{2}}}}= \sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{p(p-a)}[/TEX]

Những cái còn lại là bài tập rùi.

Đẹp nhở =))

duynhan1 · 12 Tháng năm 2011

3. Định lý hàm số tan:(Cách 2)
[TEX]\frac{a-b}{a+b} = \frac{tan{\frac{A-B}{2}} }{tan{ \frac{A+B}{2}} } [/TEX]

[TEX]\frac{tan{\frac{A-B}{2}} }{tan{ \frac{A+B}{2}} } =\frac{2 sin{\frac{A-B}{2} } . cos{\frac{A+B}{2}} }{2 sin{\frac{A+B}{2}} . cos{\frac{A-B}{2}} } = \frac{sinA - sin B}{ sin A + sin B} [/TEX]

[TEX](ycbt) \Leftrightarrow \frac{a-b}{sin A- sin B}= \frac{a+b}{sin A+sinB} [/TEX]
Mà điều đó thì luôn đúng do :
[TEX]\frac{a}{ sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{a-b}{sin A - sin B} = \frac{a+b}{sin A+ sin B}[/TEX]

giaosu_fanting_thientai · 15 Tháng năm 2011

[TEX]12.\ \ \ sinA+sinB+sinC=4cos{\frac{A}{2}}cos{\frac{B}{2}}cos{\frac{C}{2}}[/TEX]

[TEX]sinA+sinB+sinC=2sin{\frac{A+B}{2}}cos{\frac{A-B}{2}}+2sin{\frac{C}{2}} cos{\frac{C}{2}}=2cos{\frac{C}{2}}. (cos{\frac{A-B}{2}}+cos{\frac{A+B}{2}})=4cos{\frac{C}{2}}.cos {\frac{A}{2}}.cos{\frac{B}{2}}[/TEX]

[TEX]\red sinA+sinB+sinC=\frac{p}{R}[/TEX]

[TEX]sinA+sinB+sinC=\frac{a}{2R}+\frac{b}{2R}+\frac{c}{2R}=\frac{p}{R}[/TEX]

[TEX]13. \ \ \ cosA+cosB+cosC=1+4sin{\frac{A}{2}}sin{\frac{B}{2}}sin{\frac{C}{2}}[/TEX]

[TEX]cosA+cosB+cosC=2cos{\frac{A+B}{2}}cos{\frac{A-B}{2}}+1-2sin^2{\frac{C}{2}}[/TEX]

[TEX]=2sin{\frac{C}{2}}(cos{\frac{A-B}{2}}-cos{\frac{A+B}{2}})+1=1+4sin{\frac{A}{2}}sin{\frac{B}{2}}sin{\frac{C}{2}}[/TEX]

Theo đẳng thức 8 ta có :
[TEX]r=4Rsin{\frac{A}{2}}sin{\frac{B}{2}}sin{\frac{C}{2}}[/TEX]

[TEX]\red \Rightarrow cosA+cosB+cosC=1+4sin{\frac{A}{2}}sin{\frac{B}{2}}sin{\frac{C}{2}} = 1+ \frac{r}{R}[/TEX]

[TEX]14. \ \ \ sin2A+sin2B+sin2C=4sinC.sinA.sinB[/TEX]

[TEX]\large sin2A+sin2B+sin2C \\ =2sin(A+B)cos(A-B)+2sinC.cosC \\ =2sinC.[cos(A-B)-cos(A+B)] \\ =4sinC.sinA.sinB[/TEX]

[TEX]15. \ \ \ cos2A+cos2B+cos2C=-1-4cosA.cosB.cosC[/TEX]

[TEX]cos2A+cos2B+cos2C \\ =cos2A+cos2B+2cos^2C-1\\ =2cos(A+B)cos(A-B)-2cosC.cos(A+B)-1 \\ =-2cosC[cos(A-B)+cos(A+B)]-1\\ =-4cosC.cosA.cosB-1[/TEX]

[TEX]16. \ \ \ sin^2A+sin^2B+sin^2C=2(1+cosA.cosB.cosC)[/TEX]

Từ [TEX]cos2A+cos2B+cos2C=-1-4cosA.cosB.cosC[/TEX]

[TEX]\Rightarrow 1-2sin^2A+1-2sin^2B+1-2sin^2C=-1-4cosA.cosB.cosC[/TEX]

[TEX]\Rightarrow Dpcm[/TEX]

[TEX]17. \ \ \ cos^2A+cos^2B+cos^2C=1-2cosA.cosB.cosC[/TEX]

[TEX]\Large cos^2A+cos^2B+cos^2C \\ =\frac{1+cos2A}{2}+\frac{1+cos2B}{2}+cos^2C \\ =1+cos(A+B)cos(A-B)+cos^2C \\ =1-cosC[cos(A-B)+cos(A+B)] \\ =1-2cosA.cosB.cosC[/TEX]

[TEX]18. \ \ \ tan A+tanB+tanC=tan A.tanB.tanC[/TEX]

Cách 1:

[TEX]\Large tan A+tanB+tanC \\ =\frac{sin(A+B)}{cosA.cosB}+tanC \\ =tanC(\frac{cosC}{cosA.cosB}+1) \\ =tanC{\frac{-cos(A+B)+cosA.cosB}{cosA.cosB}} \\ = tanC{\frac{-cosA.cosB+sinA.sinB+cosA.cosB}{cosA.cosB}} \\ =tanC{\frac{sinA.sinB}{cosA.cosB}} \\ =tanA.tanB.tanC[/TEX]

chỗ này nữa >"<

Cách 2: Ngắn, quen nhưng k hay

[TEX]tan(A+B)=\frac{tanA+tanB}{1-tanA.tanB}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow -tanC=\frac{tanA+tanB}{1-tanA.tanB}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow -tanC+tan A.tanB.tanC=tanA+tanB[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow tan A+tanB+tanC=tan A.tanB.tanC[/TEX]

[TEX]19. \ \ \ cot{\frac{A}{2}}+cot{\frac{B}{2}}+cot{\frac{C}{2}}=cot{\frac{A}{2}} cot{\frac {B}{2}}cot{\frac {C}{2}}[/TEX]

[TEX]cot{\frac{A}{2}}=tan{\frac{B+C}{2}}= \frac{tan \frac{B}{2}+tan \frac{C}{2}}{tan \frac{B}{2}.tan\frac{C}{2}-1} = \frac{cot\frac{B}{2}+cot\frac{C}{2}}{cot\frac{B}{2}.cot\frac{C}{2}-1}[/TEX]
[tex]\red Note: tan \al =\frac{1}{cot \al} [/tex]

[TEX]\Rightarrow dpcm[/TEX]

[TEX]20. \ \ \ tan{\frac{A}{2}}tan{\frac{B}{2}}+tan{\frac{B}{2}}tan{\frac{C}{2}}+ tan{\frac{A}{2}}tan{\frac{C}{2}}=1[/TEX]

[TEX]tan{\frac{A}{2}}=cot{\frac{B+C}{2}}=\frac{1-tan{\frac{B}{2}}tan{\frac{C}{2}}}{tan{\frac{B}{2}}+tan{\frac{C}{2}}}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow tan{\frac{A}{2}}tan{\frac{B}{2}}+tan{\frac{A}{2}}tan{\frac{C}{2}}=1-tan{\frac{B}{2}}tan{\frac{C}{2}}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow Dpcm[/TEX]

[TEX]21. \ \ \ cotA.cotB+cotB.cotC+cotC.cotA=1[/TEX]

[TEX]cotA=\frac{1}{tan A}=-\frac{1}{tan(B+C)}=\frac{-1+tanB.tanC}{tanB+tanC}=\frac{1-cotB.cotC}{cotB+cotC}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow cotA.cotB+cotC.cotA=1-cotB.cotC[/TEX]

[TEX]\Rightarrow Dpcm[/TEX]

Công thức liên hệ giữa các góc.

[TEX]sin kA=sin k[\pi-(B+C)]=(-1)^{k+1}sin k(B+C)[/TEX]

[TEX]cos kA=cos k[\pi -(B+C)]=(-1)^k.cos k(B+C)[/TEX]

[TEX]tan kA=-tan k(B+C)[/TEX]

[TEX]cot kA=-cot k(B+C)[/TEX]

[TEX]sin(2k+1)\frac{A}{2}=(-1)^kcos(2k+1)\frac{B+C}{2}[/TEX]

[TEX]cos(2k+1)\frac{A}{2}=(-1)^k sin(2k+1)\frac{B+C}{2}[/TEX]

[TEX]tan(2k+1)\frac{A}{2}=cot(2k+1)\frac{B+C}{2}[/TEX]

[TEX]cot(2k+1)\frac{A}{2}=tan(2k+1)\frac{B+C}{2}[/TEX]

[TEX]0 < a \leq b \leq c \Leftrightarrow 0 < A \leq B \leq C [/TEX]

[TEX](a-b)(A-B) \geq 0; (b-c)(B-C) \geq 0; (c-a)(C-A) \geq 0[/TEX]

[TEX]a^2=b^2+c^2 \Leftrightarrow A=\frac{\pi}{2}[/TEX]

[TEX]a^2 < b^2+c^2 \Leftrightarrow A < \frac{\pi}{2}[/TEX]

[TEX]a^2 > b^2+c^2 \Leftrightarrow A > \frac{\pi}{2}[/TEX]

[TEX]22. \ \ \ sin^3Acos(B-C)+sin^3Bcos(C-A)+sin^3Ccos(A-B)=3sinA.sinB.sinC[/TEX]

[TEX]23. \ \ \ sin^3A. sin(B-C) +sin^3B.sin(C-A)+sin^3C.sin(A-B)=0[/TEX]

[TEX]24. \ \ \ sin3A.sin^3(B-C)+sin3B.sin^3(C-A)+sin3C.sin^3(A-B)=0[/TEX]

[TEX]25. \ \ \ sin3A.cos^3(B-C)+sin3B.cos^3(C-A)+sin3C.cos^3(A-B)=sin3A.sin3B.sin3C.[/TEX]

bonghoatuylip · 19 Tháng năm 2011

em muốn gửi câu hỏi thì làm thế nào?ví như những bài toán khó chưa biết làm đó

em da gui duoc rui do con gj/!
gui y nhu gui cau hoi cua em y!! haha

giaosu_fanting_thientai · 31 Tháng năm 2011

giaosu_fanting_thientai said:
[TEX]22. \ \ \ sin^3Acos(B-C)+sin^3Bcos(C-A)+sin^3Ccos(A-B)=3sinA.sinB.sinC[/TEX]

[TEX]\ \ \ sin^3Acos(B-C)+sin^3Bcos(C-A)+sin^3Ccos(A-B)[/TEX]

[TEX]=sin^2A.sin(B+C)cos(B-C)+sin^2B.sin(A+C)cos(C-A)+sin^2C.sin(A+B).cos(A-B)[/TEX]

[TEX]=\frac{1}{2}sin^2A.(sin2B+sin2C)+\frac{1}{2}sin^2B.(sin2A+sin2C)+\frac{1}{2}sin^2C(sin2A+sin2B)[/TEX]

[TEX]=sin^2A(sinBcosB+sinCcosC)+sin^2B(sinAcosA+sinCcosC)+sin^2C(sinAcosA+sinBcosB)[/TEX]

[TEX]=sinAsinB(sinAcosB+sinBcosA)+sinAsinC(sinAcosC+sinCcosA)+sinBsinC(sinBcosC+sinCcosB)[/TEX]

[TEX]=sinAsinBsin(A+B)+sinAsinCsin(A+C)+sinBsinCsin(B+C)=3sinAsinBsinC[/TEX]

[TEX]23. \ \ \ sin^3Asin(B-C)+sin^3Bsin(C-A)+sin^3Csin(A-B)=0[/TEX]

[TEX]sin^3Asin(B-C)=sin^2A.sin(B+C).sin(B-C)=sin^2A.\frac{1}{2}.(cos2C-cos2B)=sin^2A.\frac{1}{2}(1-2sin^2C-1+2sin^2B)=sin^2A(sin^2B-sin^2C)[/TEX]

Tương tự:
[TEX] \ \ \ sin^3Bsin(C-A)=sin^2B(sin^2C-sin^2A)[/TEX]

[TEX]sin^3Csin(A-B)=sin^2C(sin^2A-sin^2B)[/TEX]

Cộng 2 vế suy ra đpcm

[TEX]24. \ \ \ sin3A.sin^3(B-C)+sin3B.sin^3(C-A)+sin3C.sin^3(A-B)=0[/TEX]

[TEX]sin3A.sin^3(B-C)=\frac{1}{4}sin3A[3sin(B-C)-sin3(B-C)][/TEX]

[TEX]=\frac{3}{4}sin3A.sin(B-C)-\frac{1}{4}sin3A.sin3(B-C)[/TEX]

[TEX]=\frac{3}{8}[cos(3A-B+C)-cos(3A+B-C)]-\frac{1}{8}[cos3(A-B+C)-cos3(A+B-C)][/TEX]

[TEX]=\frac{3}{8}[cos2(A-C)-cos2(A-B)]-\frac{1}{8}[cos6C-cos6B][/TEX]

Chứng minh tương tự với 2 biểu thức kia sau đó cộng 2 vế đc đpcm

[TEX]25. \ \ \ sin3A.cos^3(B-C)+sin3B.cos^3(C-A)+sin3C.cos^3(A-B)=sin3A.sin3B.sin3C.[/TEX]

[TEX]sin3A.cos^3(B-C)=sin3A.\frac{1}{4}.[cos3(B-C)+3cos(B-C)][/TEX]

[TEX]=\frac{1}{4}sin3A.cos3(B-C)+\frac{3}{4}sin3Acos(B-C)[/TEX]

[TEX]=\frac{1}{8}[sin3(A+B-C)-sin3(A-B+C)+\frac{3}{8}[sin(3A+B-C)+sin(3A-B+C)][/TEX]

[TEX]=\frac{1}{8}(sin6C+sin6B)+\frac{3}{8}[sin2(C-A)+sin2(B-A)][/TEX]

Tương tự với 2 biểu thức còn lại sau đó cộng vế.

Tìm kiếm

Tìm kiếm

Các đẳng thức lượng giác trong tam giác

duynhan1

giaosu_fanting_thientai

duynhan1

giaosu_fanting_thientai

bonghoatuylip

giaosu_fanting_thientai