Các câu hàm số ( khó )

[xlovemathx]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1 : CMR tiệm cận xiên của đồ thị hs [TEX]y=\frac{(m+2)x^2+(3-4m)x-2m}{x-m}[/TEX] tiếp xúc với 1 parabol cố định .

Bài 2 : Cho parabol [TEX](P) : y=x^2+4x+6[/TEX] . Đường thẳng [TEX](d)[/TEX] đi qua [TEX]F(-2;\frac{9}{4})[/TEX] và không cùng phương với trục tung .
a. CMR (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt M,N .
b. CMR tiếp tuyến tại M,N vuông góc nhau và giao điểm của chúng thuộc 1 đường thẳng cố định .

Bài 3 : Cho hàm số [TEX]y=\frac{x^2+mx-2m-4}{x+2}[/TEX] .
a. Tìm m để hs có 2 cực trị .
b. Giả sử tiếp tuyến tại [TEX]M \in (C) [/TEX] cắt 2 tiệm cận tại P, Q . CMR : [TEX]MP=MQ[/TEX]

Bài 4 : Cho hàm số [TEX] ( C ) : y=\frac{x^2-2x+2}{x-1}[/TEX] . Giả sử A,B là 2 điểm trên (C) có cùng hoành độ tương ứng [TEX]x_1 , x_2[/TEX] thỏa [TEX]x_1 + x_2 = 2 [/TEX] . CMR tiếp tuyến tại A,B song song nhau .

Bài 5 : Cho đồ thị [TEX]( C ) : y=\frac{3x+2}{x-1}[/TEX] .
a. CMR [TEX]dt : y=2x+m[/TEX] luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A,B . Tìm quỹ tích trung điểm I của AB .
b. Tính độ dài AB theo m . Tìm m để độ dài AB bé nhất .

Không ai làm hết ạ ? ....................................................................

 

[tuyn]

Bài 1 : CMR tiệm cận xiên của đồ thị hs [TEX]y=\frac{(m+2)x^2+(3-4m)x-2m}{x-m}[/TEX] tiếp xúc với 1 parabol cố định .

Tiệm cận xiên [TEX](d): y=(m+2)x+m^2-2m+3[/TEX]
Xét PT bậc 2 ẩn m: [TEX]m^2+(x-2)m+2x-y+3=0[/TEX]
[TEX]PTVN \Leftrightarrow \Delta =(x-2)^2-4(2x-y+3)=4y+x^2-12x-8<0[/TEX]
Ta CM (d)luôn tiếp xúc với [TEX](P):y=-\frac{x^2}{4}+3x+2[/TEX]
Thật vậy:
xét PT hoành độ giao điểm:[TEX] -\frac{x^2}{4}+3x+2=(m+2)x+m^2-2m+3[/TEX]
Dễ dàng chỉ ra được PT trên có nghiệm kép
OK

 

[rubic_24]

Bài 5 : Cho đồ thị [TEX]( C ) : y=\frac{3x+2}{x-1}[/TEX] .
a. CMR [TEX]dt : y=2x+m[/TEX] luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A,B . Tìm quỹ tích trung điểm I của AB .
b. Tính độ dài AB theo m . Tìm m để độ dài AB bé nhất .

Giải : Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) là :

[TEX]\frac{3x + 2}{x - 1 } = 2x + m [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 2 x^2 + ( m - 5 ) x - ( 2 + m ) = 0 \ (*) [/TEX]

[TEX]\Delta ^ * = ( m - 1 ) ^ 2 + 40 > \ 0 \ voi \ moi \ m [/TEX]

(C) luôn cắt (d) tại 2 điểm phân biệt A , B

Gọi [TEX]A(x_1, y_1) \ va \ B ( x_2 , y_2 )[/TEX]

[TEX]\left{\begin{x_I =\frac{x_1 + x_2}{2}}\\{y_I = \frac{y_1 + y_2}{2}} [/TEX]

[TEX]\left{\begin{x_I = \frac{5 - m }{4}}\\{y_I = \frac{5 +m }{2}} [/TEX]


\Rightarrow [TEX] 4 x_I + 2 y_I = 10[/TEX]

Quỹ tích trung điểm I của A, B là [TEX]( \Delta ) : 4 x + 2 y - 10 = 0[/TEX]

b, Ta có : [TEX]AB = \sqrt{5 (x_1- x_2 ) ^ 2} = \frac{\sqrt{(m - 1 ) ^2 + 40 }}{2} [/TEX] \geq [TEX]\sqrt{10}[/TEX]

Dấu " = " có \Leftrightarrow m = 1

\Rightarrow[TEX]AB_{max} = \sqrt{10} \ tai \ m= 1[/TEX]

Mấy câu trên tớ chưa học đến ... !

 

[tuyn]

Bài 2 : Cho parabol [TEX](P) : y=x^2+4x+6[/TEX] . Đường thẳng [TEX](d)[/TEX] đi qua [TEX]F(-2;\frac{9}{4})[/TEX] và không cùng phương với trục tung .
a. CMR (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt M,N .
b. CMR tiếp tuyến tại M,N vuông góc nhau và giao điểm của chúng thuộc 1 đường thẳng cố định .

[TEX](d):y=k(x+2)+\frac{9}{4}[/TEX]
PT hoành độ giao điểm:
[TEX]x^2+4x+6=k(x+2)+\frac{9}{4}\Leftrightarrow 4x^2+4(4-k)x-(8k-15)=0(1))[/TEX]
a)[TEX]\Delta '=4(4-k)^2+4(8k-15)=4k^2+4 > 0[/TEX] mọi k
\Rightarrow ĐPCM
b)Hệ số góc của tiếp tuyến tại M,N lần lượt là:
[TEX]y'(x_M)=2x_M+4,y'(x_N)=2x_N+4[/TEX]
[TEX]x_M,x_N[/TEX]là nghiệm của PT (1).Theo định lý Viet ta có:
[TEX]x_M+x_N=k-4,x_Mx_N=-\frac{8k-15}{4}[/TEX]
[TEX]y'(x_M)y'(x_N)=4x_Mx_N+8(x_M+x_N)+16=-8k+15+8k-32+16=-1[/TEX]
\Rightarrow ĐPCM
+)Cái còn lại chưa nghĩ ra

 

[desert_eagle_tl]

Bài 3 : Cho hàm số [TEX]y=\frac{x^2+mx-2m-4}{x+2}[/TEX] .
a. Tìm m để hs có 2 cực trị .
b. Giả sử tiếp tuyến tại [TEX]M \in (C) [/TEX] cắt 2 tiệm cận tại P, Q . CMR : [TEX]MP=MQ[/TEX]

a) [TEX]y = x - 2 + m - \frac{4m}{x +2}[/TEX]
* TXD : D = R \ {-2 }
* [TEX]y' = 1 + \frac{4m}{(x + 2 )^2} = \frac{x^2 + 2x + 4m +4}{(x+2)^2}[/TEX]
Để hsố có CĐ , CT \Leftrightarrow pt y' = 0 có 2 Nghiệm p.biệt
\Rightarrow delta' = 1 - 4 - 4m > 0 \Leftrightarrow [TEX] m < -\frac{3}{4}[/TEX]
b) Cần CM : xP + xQ = 2xM va yP + yQ = 2yM

 

[tuyn]

Bài 3 : Cho hàm số [TEX]y=\frac{x^2+mx-2m-4}{x+2}[/TEX] .
a. Tìm m để hs có 2 cực trị .
b. Giả sử tiếp tuyến tại [TEX]M \in (C) [/TEX] cắt 2 tiệm cận tại P, Q . CMR : [TEX]MP=MQ[/TEX]

a)HD: Hàm số có 2 cực trị khi và chỉ khi PT y'=0 có 2 nghiệm phân biệt
b)
-Lấy M thuộc (C)
-Viết PT tiếp tuyến tại M
-Tìm giao điểm của tiếp tuyến với 2 đường tiệm cận
-Kiểm tra xem M là trung điểm của P,Q hay ko(dựa vào Công thức tọa độ trung điểm)

Bài 4 : Cho hàm số [TEX] ( C ) : y=\frac{x^2-2x+2}{x-1}[/TEX] . Giả sử A,B là 2 điểm trên (C) có cùng hoành độ tương ứng [TEX]x_1 , x_2[/TEX] thỏa [TEX]x_1 + x_2 = 2 [/TEX] . CMR tiếp tuyến tại A,B song song nhau .

[TEX]y'=1-\frac{1}{(x-1)^2}[/TEX]
Hệ số góc của tiếp tuyến tại A,B là:
[TEX]y'(x_1)=1-\frac{1}{(x_1-1)^2},y'(x_2)=1-\frac{1}{(x_2-1)^2}[/TEX]
Hai tiếp tuyến // với nhau \Leftrightarrow [TEX]y'(x_1)=y'(x_2)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow x_1+x_2=2(x_1\neq x_2)[/TEX]
\Rightarrow ĐPCM

 

[xlovemathx]

[Toán 12] Hàm số khó ( next ... )

Bài 6 : Cho [TEX]parabol (P) : y=x^2+4x-8 -va d-t (d): y=2x+m[/TEX] . Tìm m để (d) cắt (P) tại 2 địểm phân biệt A,B . Tìm tập hợp các trung điểm của [TEX]AB[/TEX]

Bài 7 : Cho hàm số : [TEX]y=\frac{x^2+x+m}{x+1}[/TEX] . Tìm tập hợp các điểm CĐ, CT

Bài 8 : Cho hàm số : [TEX](C) :y=\frac{x^2-x+2}{x-1}[/TEX] . Tìm trên 2 nhánh của [TEX](C)[/TEX] 2 điểm [TEX]A,B[/TEX] sao cho [TEX]AB [/TEX] có độ dài ngắn nhất . CMR khi đó AB đi qua tâm đối xứng của (C) .

Bài 9 : Cho hàm số [TEX](C) : y=\frac{x^2+2x+2}{x} -va- dt (D_m) : y=mx+2[/TEX] . Tìm m để [TEX](D_m)[/TEX] cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A,B sao cho AB có độ dài ngắn nhất .

Bài 10 : Cho hàm số [TEX](C) : y=x^4-x^2 -va -dt (D) : y= 2x-8[/TEX]
a. Xét vị trí tương đối của (C) và (D)
b. Tìm [TEX]M \in (C)[/TEX] sao cho khỏang cách từ M đến (D) nhỏ nhất

 

[tuyn]

Bài 8 : Cho hàm số : [TEX](C) :y=\frac{x^2-x+2}{x-1}[/TEX] . Tìm trên 2 nhánh của [TEX](C)[/TEX] 2 điểm [TEX]A,B[/TEX] sao cho [TEX]AB [/TEX] có độ dài ngắn nhất . CMR khi đó AB đi qua tâm đối xứng của (C) .

[TEX]y=x+\frac{2}{x-1}[/TEX]
Lấy [TEX]A(a;a+\frac{2}{a-1}),B(b;b+\frac{2}{b-1}) \in (C);a>1,b<1[/TEX]
[TEX]AB^2=(a-b)^2+[(a-b)^2+(\frac{2}{a-1}-\frac{2}{b-1})^2]=(a-b)^2[1+(1+\frac{2}{(a-1)(1-b)})^2]=[(a-1)+(1-b)]^2[2+\frac{4}{(a-1)(1-b)}+\frac{4}{(a-1)^2(1-b)^2}]\geq 4(a-1)(1-b)[\frac{4}{(a-1)(1-b)}+\frac{2\sqrt{2}}{(a-1)(1-b)}]=16+8\sqrt{2}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow MinAB=\sqrt{16+8\sqrt{2}} \Leftrightarrow a-1=1-b:va:(a-1)(1-b)=2[/TEX]
Khi tìm được A,B rồi thì việc kiểm tra A,B,I thẳng hàng là đơn giản(I là giao điểm của 2 đường tiệm cận)

Bài 10 : Cho hàm số [TEX](C) : y=x^4-x^2 -va -dt (D) : y= 2x-8[/TEX]
a. Xét vị trí tương đối của (C) và (D)
b. Tìm [TEX]M \in (C)[/TEX] sao cho khỏang cách từ M đến (D) nhỏ nhất

a)PT hoành độ giao điểm:[TEX]x^4-x^2=2x-8 \Leftrightarrow (x^4-2x^2+1)+(x^2-2x+1)+6=0 \Leftrightarrow (x^2-1)^2+(x-1)^2+6=0(VN)[/TEX]
Vậy (D) không cắt (C)
b)[TEX]M \in (C) \Rightarrow M(m;m^4-m^2)[/TEX]
[TEX]d(M;(D))=\frac{1}{\sqrt{5}}|m^4-m^2-2m+8|=\frac{1}{\sqrt{5}}|(m^2-1)^2+(m-1)^2+6| \geq \frac{6}{\sqrt{5}}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow Mind(M;(D))=\frac{6}{\sqrt{5}}\Leftrightarrow m=1 \Rightarrow M(1;0)[/TEX]

 

[xlovemathx]

Tiệm cận xiên [TEX](d): y=(m+2)x+m^2-2m+3[/TEX]
Xét PT bậc 2 ẩn m: [TEX]m^2+(x-2)m+2x-y+3=0[/TEX]
[TEX]PTVN \Leftrightarrow \Delta =(x-2)^2-4(2x-y+3)=4y+x^2-12x-8<0[/TEX]
Ta CM (d)luôn tiếp xúc với [TEX](P):y=-\frac{x^2}{4}+3x+2[/TEX]
Thật vậy:
xét PT hoành độ giao điểm:[TEX] -\frac{x^2}{4}+3x+2=(m+2)x+m^2-2m+3[/TEX]
Dễ dàng chỉ ra được PT trên có nghiệm kép
OK

Cho e hỏi là vì sao mình phải CM cái pt bậc 2 ẩn m vô nghiệm vậy a ? Và vì sao mình lại có dc cái pt hoành độ giao điểm đó ạ, em ko hiểu, vế trái là delta của pt ẩn m cơ mà

 

[tuyn]

Cho e hỏi là vì sao mình phải CM cái pt bậc 2 ẩn m vô nghiệm vậy a ? Và vì sao mình lại có dc cái pt hoành độ giao điểm đó ạ, em ko hiểu, vế trái là delta của pt ẩn m cơ mà

Đó là cách tìm tổng quát.
Em có thể tham khảo ở quyển:
Hình Học Giải Tích của thầy Trần Phương

 

[coberacroi_kt]

cho parabol (p) : y= -x^2/4 và đường thẳng (d): y = kx-2
a) cm với mọi giá trị của k, đường thẳng (d) luôn cắt parabol (p) tại 2 điểm phân biệt (đã làm)
b) giả sử (d) cát (P) tại 2 điểm A,B. tìm k để AB có đọ dài ngắn nhất ?

 

[maxqn]

cho parabol (p) : y= -x^2/4 và đường thẳng (d): y = kx-2
a) cm với mọi giá trị của k, đường thẳng (d) luôn cắt parabol (p) tại 2 điểm phân biệt (đã làm)
b) giả sử (d) cát (P) tại 2 điểm A,B. tìm k để AB có đọ dài ngắn nhất ?

PT hđộ giao điểm của 2 đồ thị:

$$x^2 + 4kx - 8 =0 \ \ (1) $$

Gọi A, B có hoành độ lần lượt là $x_1, x_2$ là 2 giao điểm của (d) và (C).
Theo Vi-et:
$$ \begin{cases} x_1+x_2 = -4k \\ x_1.x_2 = -8 \end{cases}$$
Ta có:

$A(x_1;kx_1-2) ; B(x_2;kx_2-2) \Rightarrow AB^2 = (x_1-x_2)^2 + k^2(x_1-x_2)^2 = (1+k^2)(x_1+x_2)^2 - 4(1+k^2)x_1.x_2$

Thế Vi-et vào r ksát hàm hay hđt j đó thì tùy

 

[mtruongioi]

Cho hỏi, tại sao ở câu 1, từ phương trình vô nghiệm lại liên quan gì tới việc tìm parabol?

 

[maxqn]

Cho hỏi, tại sao ở câu 1, từ phương trình vô nghiệm lại liên quan gì tới việc tìm parabol?

Parabol nào nhỉ?
--------------------------------------------------------

 

[nach_rat_hoi]

Câu này mình vẫn chưa nghĩ được hướng làm!!!!!
Cho:
[TEX]y={x}^{3}-3x+2[/TEX] (C)
2.Gọi d là đường thẳng cắt (C) tại 3 điểm phân biệt M,N,P. các tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M,N,P cắt lại đồ thị tương ứng tại M' , N' , P' . Chứng minh M' ,N' , P' cùng thuộc một đường thẳng...

 

[uuaa]

Cho (P): y=-x^2/4 và (d):y=mx-2 chgtỏ (d) cắt (p) tại 2 điểm A,B phân biệt tìm quỹ tích trung điểm M của AB. ) cần gấp giúp em với