Các bất đẳng thức lượng giác trong tam giác

Thảo luận trong 'Hàm số và phương trình lượng giác' bắt đầu bởi duynhan1, 11 Tháng năm 2011.

Lượt xem: 20,779

Trạng thái chủ đề:
Không mở trả lời sau này.

  1. duynhan1

    duynhan1 Guest

    Sở hữu bí kíp ĐỖ ĐẠI HỌC ít nhất 24đ - Đặt chỗ ngay!

    Đọc sách & cùng chia sẻ cảm nhận về sách số 2


    Chào bạn mới. Bạn hãy đăng nhập và hỗ trợ thành viên môn học bạn học tốt. Cộng đồng sẽ hỗ trợ bạn CHÂN THÀNH khi bạn cần trợ giúp. Đừng chỉ nghĩ cho riêng mình. Hãy cho đi để cuộc sống này ý nghĩa hơn bạn nhé. Yêu thương!

    [​IMG]
    [​IMG]
     
  2. duynhan1

    duynhan1 Guest

    Bất đẳng thức, đẳng thức nhị trùng trong tam giác

    • Nếu A, B, C là 3 góc của 1 tam giác thì : [TEX] \frac{\pi}{2} - \frac{A}{2}, \ \ \frac{\pi}{2} - \frac{B}{2}, \ \ \frac{\pi}{2} - \frac{C}{2} [/TEX]cũng là 3 góc của 1 tam giác.
      Vì : [tex] (\frac{\pi}{2} - \frac{A}{2})+( \frac{\pi}{2} - \frac{B}{2})+( \frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}) = \pi[/tex] ​
      [TEX]Va: \ \left{ \frac{\pi}{2} - \frac{A}{2}>0 \\ \frac{\pi}{2} - \frac{B}{2}>0 \\ \frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}>0 \right. [/TEX] ​
    • DO đó nếu có 1 đẳng thức (hay bất đẳng thức ) đối xứng đối với các hàm số: sin, cos, cot, tan của các góc một tam giác thì có 1 đẳng thức( hay bất đẳng thức) mới khi thay [TEX]cos x \ boi \ sin (\frac{x}{2}) [/TEX], [TEX]sin x \ boi \ cos (\frac{x}{2}) [/TEX], [tex] tanx \ boi \ cot {\frac{x}{2} } [/tex], [tex] cotx \ boi \ tan {\frac{x}{2} } [/tex]
      Ví dụ:
    • Có : [TEX]tan A + tan B + tan C = tan A. tan B. tan C[/TEX] thì ta phải có : [TEX]cot {\frac{A}{2} } + cot {\frac{B}{2}} + cot { \frac{C}{2}} =cot {\frac{A}{2} }. cot {\frac{B}{2}} .cot { \frac{C}{2}} [/TEX]
    • Có : [TEX]sin A + sin B + sin C \le \frac{3\sqrt{3}}{2}[/TEX] thì ta phải có : [TEX]cos {\frac{A}{2} } + cos {\frac{B}{2}} + cos { \frac{C}{2}} \le \frac{3\sqrt{3}}{2}[/TEX]

    BDT Jensen
     
  3. duynhan1

    duynhan1 Guest

    Ta đi chứng minh các BDT trên :
    1. [tex]\red cos A + cos B + cos C \le \frac32[/tex]
      Ta có :
      [TEX]cos A + cos B + cos C \\ = 2 sin {\frac{C}{2}}. cos {\frac{A-B}{2}} + 1 - 2 sin^2 {\frac{C}{2}}\\ = -2 ( sin {\frac{C}{2}} - \frac{cos {\frac{A-B}{2}}}{2})^2 + 1 - \frac{cos^2 {\frac{A-B}{2}}}{2} \le \frac32[/TEX]
      [TEX]"=" \Leftrightarrow A =B=C=60^o[/TEX]
    2. [TEX]\red sin {\frac{A}{2}} + sin {\frac{B}{2}} +sin {\frac{C}{2}} \le \frac32 [/TEX] (theo BDT nhị trùng)
      Đối với 2 bài trên ta cũng có thể áp dụng BDT Jensen, cách làm tương tự bài dưới đây
    3. [TEX] \red sin A + sin B + sin C \le \frac{3\sqrt{3}}{2} [/TEX]. Ta có :
      [TEX]sin A + sin B + sin C + sin {\frac{A+B+C}{3}} \\ \le 2.sin{\frac{A+B}{2}} + 2 sin {\frac{A+B+4C}{6}} (BDT\ JENSEN) \le 4. sin {\frac{2(A+B+C)}{6}} = \frac{4.\sqrt{3}}{2} \\ \Rightarrow sin A + sin B + sin C \le \frac{3\sqrt{3}}{2} [/TEX]
      [TEX]"=" \Leftrightarrow A=B = C = 60^o[/TEX]
    4. [TEX]\red cos {\frac{A}{2}} + cos {\frac{B}{2}} +cos {\frac{C}{2}} \le \frac{3\sqrt{3}}{2} [/TEX] (theo BDT nhị trùng)
    5. [TEX]\red tan A + tan B + tan C \ge 3\sqrt{3} [/TEX] ( với tam giác ABC nhọn)
      Ta có thể áp dụng ngay BDT Jensen hàm tan tương tự như 2 bài trên​
      Ngoài ra: Ta có hằng đẳng thức : [tex]tan A + tan B + tan C = tan A . tan B. tan C[/tex] nên ta có : ​
      [TEX]tan A. tan B . tan C \ge 3 \sqrt[3]{ tan A. tan B. tanC} \Leftrightarrow tan A . tan B . tan C \ge 3\sqrt{3}\ \ \ hay\ \ \ tan A + tan B + tan C \ge 3\sqrt{3} [/TEX]
    6. [TEX]\red cot{\frac{A}{2}} + cot {\frac{B}{2}} +cot {\frac{C}{2}} \ge 3\sqrt{3} [/TEX] với tam giác ABC nhọn. (theo BDT nhị trùng)
    7. [tex] \red cot A + cot B + cot C \ge \sqrt{3}[/tex]
      Ta có: [tex] cot A. cot B + cot B . cot C + cot C. cot A =1 \Rightarrow (cot A + cot B + cot C)^2 \ge 3( cot A. cot B + cot B . cot C + cot C. cot A) = 3 \Rightarrow cot A + cot B + cot C \ge \sqrt{3}[/tex]
    8. [tex]\red tan{\frac{A}{2}} + tan {\frac{B}{2}} +tan{\frac{C}{2}} \ge \sqrt{3} [/tex] (Theo BDT nhị trùng)
    9. [tex] \red cos^2 A + cos^2 B + cos^2 C \ge \frac34 [/tex]
      [tex] cos^2 A + cos^2 B + cos^2 C \\ = 1 - cos C . cos ( A-B) + cos^2 C = (cos C - \frac{cos(A-B)}{2})^2 + 1 - \frac{cos^2(A-B)}{4}\ge \frac34 [/tex]
    10. [tex]\red sin^2{\frac{A}{2}} + sin^2{\frac{B}{2}} +sin^2{\frac{C}{2}} \ge \frac34 [/tex] (theo BDT nhị trùng)
    11. [tex] \red sin^2 A + sin^2 B + sin^2 C \le \frac94 [/tex] ( để ý [tex] sin^2 \al = 1- cos^2 \al [/tex])
    12. [tex]\red cos^2{\frac{A}{2}} + cos^2{\frac{B}{2}} +cos^2{\frac{C}{2}} \le \frac94 [/tex] (theo BDT nhị trùng)
    13. [tex] \red tan^2 A + tan^2 B + tan^2 C \ge 9[/tex] ( với tam giác ABC nhọn)
    14. [tex] \red cot^2A+ cot^2B+ cot^2 C \ge 1 [/tex]
      2 bất đẳng thức trên có thể chứng minh dễ dàng dựa vào các BDT số 5 và BDT số 7, kết hợp với BDT quen thuộc sau : [tex] a^2+b^2+c^2 \ge \frac13 (a+b+c)^2 [/tex]
    15. [tex]\red cot^2{\frac{A}{2}} + cot^2{\frac{B}{2}} +cot^2{\frac{C}{2}} \ge 9 [/tex] ( theo BDT nhị trùng và BDT 11)
    16. [tex]\red tan^2{\frac{A}{2}} + tan^2{\frac{B}{2}} +tan^2{\frac{C}{2}} \ge 9 [/tex] ( theo BDT nhị trùng và BDT 12)
    17. [tex] \red cos A. cosB . cos C \le \frac18 [/tex]
      • Với tam giác ABC tù hiển nhiên ta có điều phải chứng minh.
      • Với tam giác ABC nhọn ta có :
        [tex] cos A . cos B . cos C \le (\frac{ cos A+ cos B + cosC}{3} )^3 \le \frac18 [/tex] ( xem lại BDT số 1)
    18. [tex] \red sin {\frac{A}{2}} sin{\frac{B}{2}} sin{\frac{C}{2}} \le \frac18 [/tex] ( theo BDT nhị trùng)
    19. [tex] \red sin A . sin B . sin C \le \frac{3\sqrt{3}}{8} [/tex]
      Do sin A, sin B, sin C là các số dương nên ta có :
      [TEX]sin A . sin B . sin C \le (\frac{sin A + sin B + sin C }{3} )^3 \le \frac{3\sqrt{3}}{8} [/TEX] ( xem lại BDT số 3 )
    20. [tex] \red cos {\frac{A}{2}} cos{\frac{B}{2}} cos{\frac{C}{2}} \le \frac{3\sqrt{3}}{8} [/tex] ( theo BDT nhị trùng)
    21. [tex]\red tan A . tan B . tan C \ge 3\sqrt{3},\ \ \Delta ABC\ \ nhon [/tex] ( đã chứng minh ở BDT số 5)
    22. [tex] \red cot {\frac{A}{2}} cot{\frac{B}{2}} cot{\frac{C}{2}} \ge 3\sqrt{3},\ \ \Delta ABC\ \ nhon [/tex] ( theo BDT nhị trùng)
    23. [tex] \red cot A . cot B . cot C \le \frac{1}{3\sqrt{3}} \forall \Delta ABC [/tex]
      • Với tam giác ABC tù hiển nhiên ta có điều phải chứng minh.
      • Với tam giác ABC nhọn để ý : [tex] tan \al . cot \al =1 [/tex] nên từ BDT 21 ta có điều phải chứng minh.
    24. [tex] \red tan {\frac{A}{2}} tan{\frac{B}{2}} tan{\frac{C}{2}} \le \frac{1}{3\sqrt{3}} \forall \Delta ABC [/tex] ( theo BDT nhị trùng)

    Mọi góp ý về lời giải xin gửi về tin nhắn riêng cho mình !
    Thank! .
     
    Last edited by a moderator: 15 Tháng năm 2011
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted
Trạng thái chủ đề:
Không mở trả lời sau này.

CHIA SẺ TRANG NÀY

-->