Toán các bài toán về chứng minh chia hết

[BhofA]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1/ cho a,b là 2 số tự nhiên và a>b chứng minh:
A = a^2.b^2. (a^4-b^4) chia hết cho 60
2/ chứng minh n^5-n chia hết cho 240 với n lẻ
3/ chứng minh n^6-n^4-2n^2 chia hết cho 72

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

1)
$A=a^2b^2(a-b)(a+b)(a^2+b^2)$.
Dễ thấy $a,b$ cùng tính chẵn lẻ thì $(a-b),(a+b)$ chia hết cho $2$ do đó $A$ chia hết cho $4$.
Khác tính chẵn lẻ thì $a^2$ hoặc $b^2$ phải chia hết cho $4$...
Xét tích $B=ab(a-b)(a+b)$
Nếu $a,b \vdots 3$ thì rõ ràng $B \vdots 3$.
+$a,b$ chia $3$ có cùng số dư thì khi đó $a-b \vdots 3 \Rightarrow B \vdots 3$.
+$a,b$ có 1 số chia $3$ dư $1$, một số chia $3$ dư $2$ thì $a+b \vdots 3$.
Do đó $B$ luôn chia hết cho $3$.
Tiếp theo ta sẽ chứng minh $A$ chia hết cho $5$ thật vậy:
Nếu tồn tại 1 trong 2 số $a,b$ chia hết cho $5$ thì ta có ngay điều phải chứng minh.
+$a,b$ không chia hết cho $5$ thì khi đó:$a^2$ chia $5$ dư $1$ hoặc $4$.
-Nếu $a^2,b^2$ khác số dư thì rõ ràng khi $a^2+b^2 \vdots 5$.
-Nếu $a^2,b^2$ cùng số dư thì tồn tại tổng hoặc hiệu của chúng sẽ chia hết cho $5$.
Nói tóm lại $A$ sẽ chia hết cho $5$.
Mà $(3,4,5)=1 \Rightarrow A \vdots 3.4.5=60$(dpcm)
2)$P=n^5-n=n(n-1)(n+1)(n^2+1)$
Do $n$ lẻ nên đặt $n=2k+1 (k \in \mathbb{N})$
Thay vào ta có:$P=(2k+1)2k(2k+2)(4k^2+4k+2)=8(2k+1)k(k+1)(2k^2+2k+1)$
Dễ thấy $k(k+1) \vdots 2$ nên $P \vdots 2^4$.
Tương tự như câu 1) Chứng minh $P$ chia hết cho $3$ và $5$ từ đó có dpcm.
3)Với $n=1,n=2$ thì không thỏa mãn $\Rightarrow$ Đề sai $\Rightarrow$ Trái đất nổ tung

 

[iceghost]

1/ $A = a^6b^2 - a^2b^6 = ab^2(a^5-a) - a^2b(b^5 - b)$
Dễ dàng chứng minh được $a^5-a$ và $b^5-b$ chia hết cho $60$ nên ta có đpcm

 

[BhofA]

1/ $A = a^6b^2 - a^2b^6 = ab^2(a^5-a) - a^2b(b^5 - b)$
Dễ dàng chứng minh được $a^5-a$ và $b^5-b$ chia hết cho $60$ nên ta có đpcm

a^5-a và b^5-b chỉ chia hết cho 30 mà Mod

 

[BhofA]

1)
$A=a^2b^2(a-b)(a+b)(a^2+b^2)$.
Dễ thấy $a,b$ cùng tính chẵn lẻ thì $(a-b),(a+b)$ chia hết cho $2$ do đó $A$ chia hết cho $4$.
Xét tích $B=ab(a-b)(a+b)$
Nếu $a,b \vdots 3$ thì rõ ràng $B \vdots 3$.
+$a,b$ chia $3$ có cùng số dư thì khi đó $a-b \vdots 3 \Rightarrow B \vdots 3$.
+$a,b$ có 1 số chia $3$ dư $1$, một số chia $3$ dư $2$ thì $a+b \vdots 3$.
Do đó $B$ luôn chia hết cho $3$.
Tiếp theo ta sẽ chứng minh $A$ chia hết cho $5$ thật vậy:
Nếu tồn tại 1 trong 2 số $a,b$ chia hết cho $5$ thì ta có ngay điều phải chứng minh.
+$a,b$ không chia hết cho $5$ thì khi đó:$a^2$ chia $5$ dư $1$ hoặc $4$.
-Nếu $a^2,b^2$ khác số dư thì rõ ràng khi $a^2+b^2 \vdots 5$.
-Nếu $a^2,b^2$ cùng số dư thì tồn tại tổng hoặc hiệu của chúng sẽ chia hết cho $5$.
Nói tóm lại $A$ sẽ chia hết cho $5$.
Mà $(3,4,5)=1 \Rightarrow A \vdots 3.4.5=60$(dpcm)
2)$P=n^5-n=n(n-1)(n+1)(n^2+1)$
Do $n$ lẻ nên đặt $n=2k+1 (k \in \mathbb{N})$
Thay vào ta có:$P=(2k+1)2k(2k+2)(4k^2+4k+2)=8(2k+1)k(k+1)(2k^2+2k+1)$
Dễ thấy $k(k+1) \vdots 2$ nên $P \vdots 2^4$.
Tương tự như câu 1) Chứng minh $P$ chia hết cho $3$ và $5$ từ đó có dpcm.
3)Với $n=1,n=2$ thì không thỏa mãn $\Rightarrow$ Đề sai $\Rightarrow$ Trái đất nổ tung

thanks Mod, ở bài 3 đề là n^6+n^4-2n^2 chia hết cho 72

 

[iceghost]

a^5-a và b^5-b chỉ chia hết cho 30 mà Mod

Chia hết cho $60$ với $a, b > 2$ bạn nhé

 

[BhofA]

1/ $A = a^6b^2 - a^2b^6 = ab^2(a^5-a) - a^2b(b^5 - b)$
Dễ dàng chứng minh được $a^5-a$ và $b^5-b$ chia hết cho $60$ nên ta có đpcm

Mem chỉ tách đc a^5-a = a(a-1)(a+1)(a-2)(a+2) + 5a(a-1)(a+1) chia hết cho 30 thoy
Dù vế đầu chia hết ch0 120 nhưng vế sau chỉ chia hết cho 30

 

[iceghost]

Mem chỉ tách đc a^5-a = a(a-1)(a+1)(a-2)(a+2) + 5a(a-1)(a+1) chia hết cho 30 thoy
Dù vế đầu chia hết ch0 120 nhưng vế sau chỉ chia hết cho 30

Ờ đúng là có sai sót thật Xin lỗi bạn nhé

 

[BhofA]

Chia hết cho $60$ với $a, b > 2$ bạn nhé

bạn có thể giải thích tại sao a,b> 2 thì chia hết cho 60 không, mình thử TH nào cx đúng nhưng k biết giải thích, hay chẳng lẽ dùng quy nạp à Mod

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

bạn có thể giải thích tại sao a,b> 2 thì chia hết cho 60 không, mình thử TH nào cx đúng nhưng k biết giải thích, hay chẳng lẽ dùng quy nạp à Mod

$a^5-a = a(a-1)(a+1)(a-2)(a+2) + 5a(a-1)(a+1)$.
Dễ thấy với $a>2$ thì $a(a-1)(a+1) \vdots 3$ mà $a(a-1) \vdots 2$.Do đó $a(a-1)(a+1) \vdots 6$ hay $5a(a-1)(a+1) \vdots 30$.

 

[BhofA]

$a^5-a = a(a-1)(a+1)(a-2)(a+2) + 5a(a-1)(a+1)$.
Dễ thấy với $a>2$ thì $a(a-1)(a+1) \vdots 3$ mà $a(a-1) \vdots 2$.Do đó $a(a-1)(a+1) \vdots 6$ hay $5a(a-1)(a+1) \vdots 30$.

mod hỉu sai r. đang cần chứng minh nó chia hết cho 60 mà

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

mod hỉu sai r. đang cần chứng minh nó chia hết cho 60 mà

Vậy thì bạn chứng minh nó chia hết cho $30$ và nó chia hết cho $4$ như cái bài của mình lúc đầu nên nó sẽ chia hết cho $60$ ok chưa nhỉ?
$A=a^2b^2(a-b)(a+b)(a^2+b^2)$.
Dễ thấy $a,b$ cùng tính chẵn lẻ thì $(a-b),(a+b)$ chia hết cho $2$ do đó $A$ chia hết cho $4$.
Khác tính chẵn lẻ thì $a^2$ hoặc $b^2$ phải chia hết cho $4$...

 

[BhofA]

Vậy thì bạn chứng minh nó chia hết cho $30$ và nó chia hết cho $4$ như cái bài của mình lúc đầu nên nó sẽ chia hết cho $60$ ok chưa nhỉ?
$A=a^2b^2(a-b)(a+b)(a^2+b^2)$.
Dễ thấy $a,b$ cùng tính chẵn lẻ thì $(a-b),(a+b)$ chia hết cho $2$ do đó $A$ chia hết cho $4$.
Khác tính chẵn lẻ thì $a^2$ hoặc $b^2$ phải chia hết cho $4$...

thấy Mod iceghost lam vậy nên thử đi theo hướng của Mod xem sao =))
Làm theo cách của Khang nhanh hơn đó chỉ việc cm chia hết cho $4$ nữa là ok.

 

[BhofA]

1)
$A=a^2b^2(a-b)(a+b)(a^2+b^2)$.
Dễ thấy $a,b$ cùng tính chẵn lẻ thì $(a-b),(a+b)$ chia hết cho $2$ do đó $A$ chia hết cho $4$.
Khác tính chẵn lẻ thì $a^2$ hoặc $b^2$ phải chia hết cho $4$...
Xét tích $B=ab(a-b)(a+b)$
Nếu $a,b \vdots 3$ thì rõ ràng $B \vdots 3$.
+$a,b$ chia $3$ có cùng số dư thì khi đó $a-b \vdots 3 \Rightarrow B \vdots 3$.
+$a,b$ có 1 số chia $3$ dư $1$, một số chia $3$ dư $2$ thì $a+b \vdots 3$.
Do đó $B$ luôn chia hết cho $3$.
Tiếp theo ta sẽ chứng minh $A$ chia hết cho $5$ thật vậy:
Nếu tồn tại 1 trong 2 số $a,b$ chia hết cho $5$ thì ta có ngay điều phải chứng minh.
+$a,b$ không chia hết cho $5$ thì khi đó:$a^2$ chia $5$ dư $1$ hoặc $4$.
-Nếu $a^2,b^2$ khác số dư thì rõ ràng khi $a^2+b^2 \vdots 5$.
-Nếu $a^2,b^2$ cùng số dư thì tồn tại tổng hoặc hiệu của chúng sẽ chia hết cho $5$.
Nói tóm lại $A$ sẽ chia hết cho $5$.
Mà $(3,4,5)=1 \Rightarrow A \vdots 3.4.5=60$(dpcm)
2)$P=n^5-n=n(n-1)(n+1)(n^2+1)$
Do $n$ lẻ nên đặt $n=2k+1 (k \in \mathbb{N})$
Thay vào ta có:$P=(2k+1)2k(2k+2)(4k^2+4k+2)=8(2k+1)k(k+1)(2k^2+2k+1)$
Dễ thấy $k(k+1) \vdots 2$ nên $P \vdots 2^4$.
Tương tự như câu 1) Chứng minh $P$ chia hết cho $3$ và $5$ từ đó có dpcm.
3)Với $n=1,n=2$ thì không thỏa mãn $\Rightarrow$ Đề sai $\Rightarrow$ Trái đất nổ tung

thưa Mod bạn Ray Kevin, mem thấy làm cũng như Mod nhưng có phần dễ hiểu hơn:
Đặt

, bài toán trở thành:

chia hết cho 60
---Xét A chia hết cho 4:
+Nếu x hoặc y chẵn thì x (hoặc y) phải chia hết cho 4 nên ta có đpcm
+Nếu x và y cùng lẻ thì x-y; x+y chẵn nên chia hết cho 4 hay A chia hết cho 4
---Xét A chia hết cho 3: Vì x và y là số chính phương nên x;y có dạng 3k hoặc 3k+1 (k thuộc N*)
+Nếu x hoặc y có dạng 3k thì ta có đpcm
+Nếu x và y có dạng 3k+1 thì x-y chia hết cho 3 hay A chia hết cho 3
---Xét A chia hết cho 5: Vì x và y là số chính phương nên x và y có dạng 5k hoặc 5k+1 hoặc 5k-1
+Nếu x hoặc y có dạng 5k thì có đpcm
+Nếu x=5m+1 và y=5n+1 thì x-y chia hết cho 5 hay A chia hết cho 5, tương tự với x=5m-1 và y=5n-1
+Nếu x=5m+1 và y=5n-1 (hoặc ngược lại) thì x+y chia hết cho 5 hay A chia hết cho 5
--->Suy ra A chia hết cho (4.3.5) = 60 (đpcm)

~ Bạn ấy có làm đúng ko Mod @@