Toán các bài toán về bất đẳng thức

[BhofA]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1/ Cho a,b,c là độ dài các cạnh của một tam giác, chứng minh rằng: 4a^2b^2 - (a^2+b^2-c^2) > 0
(P/s: cho hỏi bài này chỉ đứng với tam gắc vuông có cạnh huyền là c phải ko ạ @@ )
2/ Cho 2 số dương x,y và x^3+y^3 = x-y. CMR: x^2+y^2 < 1
3/ Cho 2 số x,y thỏa mãn điều kiện: x+y = 2
Chứng minh rằng : x^4+y^4 >= 2

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

3/
$x^2+y^2\geq \dfrac{(x+y)^2}{2}=2\implies x^4+y^4\geq \dfrac{(x^2+y^2)^2}{2}\geq \dfrac{2^2}{2}=2$
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=1$

 

[Xámm]

2/
Dễ thấy: [tex]x> y[/tex]
Giả sử: [tex]x^{2}+y^{2}\leq 1[/tex]
[tex]\Rightarrow (x-y).(x^{2}+y^{2})\geq x-y=x^{3}+y^{3}[/tex]
[tex]\Rightarrow x^{2}y-xy^{2}-y^{3}> y^{3}[/tex]
[tex]\Rightarrow xy-x^{2}> 2y^{2}[/tex]
Điều trên sai do [tex]2y^{2}> 0 ; xy-x^{2}< 0[/tex]
Vậy [tex]x^{2}+y^{2}> 1[/tex]

 

[Lưu Thị Thu Kiều]

1/ Cho a,b,c là độ dài các cạnh của một tam giác, chứng minh rằng: 4a^2b^2 - (a^2+b^2-c^2) > 0
(P/s: cho hỏi bài này chỉ đứng với tam gắc vuông có cạnh huyền là c phải ko ạ @@ )

bài này chỉ áp dụng cho tam giác vuông cạnh huyền là c như bạn nói
khi đó: a^2+b^2=c^2 => a^2+b^2 -c^2=0 (*)
do a,b là cạnh tam giác nên a , b >0 => 4a^2b^2>0
thay (*) vào 4a^2b^2- (a^2+b^2-c^2) ta được :
4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2) = 4a^2b^2 - 0 =4a^2b^2 >0
từ đó suy ra :4a^2b^2 - (a^2+b^2-c^2) > 0 (đpcm)

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

2/
Dễ thấy:

Giả sử:

Điều trên sai do

Vậy

+Thứ nhất sao chuyển đc $\geq $ thành $>$
+Thứ hai phải là $xy^2-x^2y-y^3$ chứ nhỉ? ^^

bài này chỉ áp dụng cho tam giác vuông cạnh huyền là c như bạn nói
khi đó: a^2+b^2=c^2 => a^2+b^2 -c^2=0 (*)
do a,b là cạnh tam giác nên a , b >0 => 4a^2b^2>0
thay (*) vào 4a^2b^2- (a^2+b^2-c^2) ta được :
4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2) = 4a^2b^2 - 0 =4a^2b^2 >0
từ đó suy ra :4a^2b^2 - (a^2+b^2-c^2) > 0 (đpcm)

Nhưng kiều ko thấy nếu chỉ áp dụng cho tam giác vuông cạnh huyền c thì nó đơn giản quá sao? ^^
Nếu $a=5;b=6;c=7$ thì bđt trên vẫn đúng mặc dù ko phải tam giác vuông

 

[trà nguyễn hữu nghĩa]

Bài 1:
Ta có: x^3+y^3=(x-y).(x^2+xy+y^2).
Mà x^3+y^3=x-y ==>x^2+xy+y^2=1.
Mà xy>0(Vì x,y là những số dương).
==>x^2+y^2<1.
___Mình không gõ được số mũ nên bạn thông cảm___

 

[Lưu Thị Thu Kiều]

Nhưng kiều ko thấy nếu chỉ áp dụng cho tam giác vuông cạnh huyền c thì nó đơn giản quá sao? ^^
Nếu a=5;b=6;c=7 thì bđt trên vẫn đúng mặc dù ko phải tam giác vuông

kiều cũng thấy thế nên trúc làm lại bài đó đi ( với lại mình làm bừa thôi) @Nữ Thần Mặt Trăng^^

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

kiều cũng thấy thế nên trúc làm lại bài đó đi ( với lại mình làm bừa thôi) @Nữ Thần Mặt Trăng ^^

có người làm rồi mà kiều ^^
P/s:sr trúc nhầm ^^ tại bạn ấy làm bài 2 mà ghi bài 1 á ^^

 

[BhofA]

Bài 1:
Ta có: x^3+y^3=(x-y).(x^2+xy+y^2).
Mà x^3+y^3=x-y ==>x^2+xy+y^2=1.
Mà xy>0(Vì x,y là những số dương).
==>x^2+y^2<1.
___Mình không gõ được số mũ nên bạn thông cảm___

từ dòng đầu bạn đã sai rồi, phải là: x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)

 

[BhofA]

2/
Dễ thấy:

Giả sử: x^2+y^2 >= 1

=> x^3 + xy^2 - x^2y - y^3 >= x^3 + y^3
=> xy(y-x) >= 2y^3
Điều trên sai do xy(y-x) < 0 và 2y^3>0
Vậy x^2+y^2 < 1


Sửa lại thế này đẫ đúng chưa mọi người !!!

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

2/
Dễ thấy:

Giả sử: x^2+y^2 >= 1

=> x^3 + xy^2 - x^2y - y^3 >= x^3 + y^3
=> xy(y-x) >= 2y^3
Điều trên sai do xy(y-x) < 0 và 2y^3>0
Vậy x^2+y^2 < 1


Sửa lại thế này đẫ đúng chưa mọi người !!!

Đúng rồi đó bạn ^^

 

[BhofA]

Cần giải quyết bài 1 nữa

 

[trà nguyễn hữu nghĩa]

2/
Dễ thấy:

Giả sử: x^2+y^2 >= 1

=> x^3 + xy^2 - x^2y - y^3 >= x^3 + y^3
=> xy(y-x) >= 2y^3
Điều trên sai do xy(y-x) < 0 và 2y^3>0
Vậy x^2+y^2 < 1


Sửa lại thế này đẫ đúng chưa mọi người !!!

Chắc là đúng rồi đó.

 

[BhofA]

Chắc là đúng rồi đó.

bạn có biết cách làm bài 1 không? nghĩ mãi chẳng ra, chỉ biết cm trong tg vuông có 2 cạnh gv là a,b

 

[iceghost]

1/ Cho a,b,c là độ dài các cạnh của một tam giác, chứng minh rằng: 4a^2b^2 - (a^2+b^2-c^2) > 0

Phải là $(a^2+b^2-c^2)^2$ chứ bạn nhỉ ?