Các bài toán thường gặp, cần đọc trước khi post bài

[duynhan1]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tìm max:

[TEX]\Large \blue sin^m x +cos^n x \ \ \forall m,n \ge 2 ,\ \ m,n \in N [/TEX]

[TEX] \Large \red sin^2 x \ge sin^m x \ \ \forall m \ge 2 , m \in N \\ cos^2 x \ge cos^n x \ \ \forall n \ge 2, \ \ n \in N \\ \Rightarrow Max \ \ sin^m x +cos^n x = 1[/TEX]
[TEX]\Large \red "=" \Leftrightarrow \left[ sin x = 1 \\ cos x = 1 [/TEX]

Tìm min:

[TEX]\Large \blue sin^m x +cos^m x \ \ \forall m \ge 2 ,\ \ m \in N [/TEX]
m chẵn

[TEX]\Large \red sin^m x + cos^m x \geq \frac{2}{(\sqrt{2} )^m} [/TEX]

[TEX]\Large \red "=" \Leftrightarrow sin x = cos x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}[/TEX]
Chứng minh áp dụng BDT Co- si cho :
[TEX]\red sin^m x[/TEX] và [TEX]\frac{m}{2}-1[/TEX] số [TEX]\red (\frac{1}{\sqrt{2}})^m[/TEX]
[TEX]\red cos^m x[/TEX] và [TEX]\frac{m}{2}-1[/TEX] số [TEX]\red (\frac{1}{\sqrt{2}})^m[/TEX]

Max quá rõ không cần ví dụ nữa , min ví dụ bài sau :

Tìm min của [TEX]\red y = sin^10 x + cos^10 x [/TEX]

[TEX]sin^{10} x + (\frac{1}{\sqrt{2}})^{10}+ (\frac{1}{\sqrt{2}})^{10}+ (\frac{1}{\sqrt{2}})^{10}+ (\frac{1}{\sqrt{2}})^{10} \geq 5.\frac{1}{2^4} sin^2 x[/TEX]

[TEX]cos^{10} x+ (\frac{1}{\sqrt{2}})^{10}+ (\frac{1}{\sqrt{2}})^{10}+ (\frac{1}{\sqrt{2}})^{10}+ (\frac{1}{\sqrt{2}})^{10} \ge 5.\frac{1}{2^4}cos ^2 x [/TEX]

[TEX]\Rightarrow sin^{10} x + cos^{10} x \ge {\frac{5}{2^4}} - \frac{8}{\sqrt{2^5}} = \frac{1}{2^4} [/TEX]

Min [TEX] sin^{10} x + cos^{10} x =\frac{1}{2^4} \Leftrightarrow sin x = cos x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} [/TEX]




Topic bị khóa và sẽ được cập nhập thường xuyên các bài tập thường gặp

 

[duynhan1]

Dạng 2 :

[TEX] a( sin x \pm sin y ) = b ( cos x \pm cos y ) [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow a sin x \pm b cos x = a sin y \pm bcos y [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow sin( x \pm arcsin(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} ) ) = sin( y \pm arcsin(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} ) [/TEX]

Dạng này còn rất nhiều biến thể, nhưng tất cả đều sử dụng CT :
[TEX] a sin x \pm b cos x =\sqrt{a^2+b^2} . sin( x \pm arcsin(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} ) [/TEX]

Ví dụ :

[TEX]cos 3x - sin x = \sqrt{3}(cos x - sin 3x)[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow cos 3x + \sqrt{3} sin 3x = \sqrt{3} cos x + sin x[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow sin ( 3x + \frac{\pi}{6} ) = sin ( x + \frac{\pi}{3} )[/TEX]

 

[duynhan1]

Tài liệu phương trình lượng giác cơ bản

 

[duynhan1]

. .

Hy vọng nó có ích với các bạn

 

[duynhan1]

Dạng chứa các thừa số [TEX] \huge sin 2x , \ \ cos 2x \ \ sin x \ \ cos x , \ \ .......[/TEX]

Đặt [TEX] \left{ a = sin x \\ b = cos x [/TEX] thì ta có :

[TEX] sin 2x = 2 ab \\ cos 2x = 2a^2 - 1= 1- 2b^2 = b^2 - a^2 [/TEX]

Ta sẽ phân tích thừa số cos 2x thích hợp sao cho khi lập delta thì nó ra 1 số chính phương.

Sau đó dùng công thức nghiệm phương trình bậc 2 để kết luận nghiệm .

Sau đây là ví dụ cụ thế :

[TEX]\Leftrightarrow cos x - 4 cos 2x + 4 - sin 2x - 4 sin x = 0 [/TEX](*)

[TEX]\text{Dat :} \ \ \left{ a = sin x \\ b = cos x [/TEX]

Ta sẽ biến đổi [TEX] cos 2x = 1- 2a^2 [/TEX] để lập được 1 delta đẹp. Tất nhiên ta phải nháp ở ngoài để chọn cách phân tích thích hợp. Ở bài trên mình đã thử phân tích [TEX]cos 2x = 1- 2a^2[/TEX] và thu được 1 delta đẹp :khi (197):

(*) [TEX]\Leftrightarrow b - 4 ( 1 - 2a^2 ) + 4 - 2ab - 4 a = 0 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 8a^2 - 2 ( b+2)^2 + b = 0 [/TEX]

[TEX] \Delta' = ( b+2)^2 - 8a = ( b-2)^2 [/TEX]

[TEX]\Rightarrow \left[ a = \frac{b}{4} \\ a = \frac12[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left[ sin x = \frac14 cos x \\ sin x = \frac12[/TEX]

[TEX]TH1 : \ \sin x = \frac14 cos x \Leftrightarrow 4 sin x - cos x =0 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{17} ( sin x - arcsin(\frac{1}{\sqrt{17}} ) )= 0 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow x - arcsin(\frac{1}{\sqrt{17}}) = k \pi [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow x= arcsin(\frac{1}{\sqrt{17}} )+ k \pi [/TEX]

[TEX]TH2 : \ \ sin x = \frac12[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left[ x = \frac{\pi}{6} + k 2 \pi \\ x = \frac{5 \pi}{6} + k 2\pi [/TEX]




. . . . .

 

[duynhan1]

Dạng
[TEX]\Large a. sin ^2 x + b . sin x. cos x + c . cos^2 x = d[/TEX]

Cách 1: Đưa về phương trình theo sin 2x, cos 2x

[TEX](pt) \Leftrightarrow a. 2 sin^2 x + b. 2 sin x . cos x + c. 2 cos^2 x = 2d[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow a(1- cos 2x) + b. sin 2x + c ( cos2x + 1 ) = 2d [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow b. sin 2x + ( c- a ) cos 2x = 2d - a - c [/TEX]

Điều kiện có nghiệm của pt : [TEX]b^2 + ( c-a)^2 \ge ( 2d - a - c)^2 [/TEX](*)

(*) sẽ được giải trong từng trường hợp cụ thể nên mình không trình bày ở đây.

Cách 2: Đưa về phương trình theo tan x

[TEX]TH1 : cos x = 0 [/TEX] phương trình tương đương với :

[TEX] a. sin^2 x = 2d[/TEX]

[TEX]\left{ a= 0 \\ d = 0[/TEX] Phương trình có vô số nghiệm
[TEX]\left{a=0 \\ d\not= 0 [/TEX] Phương trình vô nghiệm
[TEX]\left{ a\not= 0 [/TEX]: Phương trình tương đương với :

[TEX] sin^2 x = \frac{2d}{a} [/TEX].

[TEX]\Leftrightarrow 1 - cos 2x = \frac{4d}{a} [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow cos 2x =\frac{a-4d}{a}[/TEX]

Điều kiện có nghiệm : [TEX]{-1 \le \frac{a-4d}{a} \le 1}[/TEX].

Lượng giác không ai cho toán biện luận cả nên chỗ này mình không ghi CT nghiệm.

[TEX]TH2 : cos x \not = 0 [/TEX]. Chia 2 vế cho [TEX]cos^2 x [/TEX] và để ý [TEX]1+ tan62 x = \frac{1}{cos^2x} [/TEX] Ta có :

[TEX] a. tan^2 x + b . tan x + c = 2d ( 1 + tan^2 x ) [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow ( a - 2d) tan^2 x + b . tan x + c - 2d = 0 [/TEX]

[TEX] a- 2d = 0 [/TEX] Thế vào

[TEX]a- 2d \not= 0 [/TEX] Lập delta và giải.

Ví dụ :

Ví dụ: cho cách 1

Bài 1. [TEX]Sin^{2}x + (2m - 2)sin xcos x - (m - 1){cos ^2}x = m[/TEX] (1)
Tìm m để pt (1) có nghiệm.

[TEX] ( 1) \Leftrightarrow 2 sin^2 x + ( 2 m - 2) sin 2x - ( m - 1) 2 cos^2 x= 2m[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow ( 1 - cos 2x ) + 2( m-1) sin 2x - ( m -1) ( cos 2x + 1 ) = 2m [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 2(m-1) sin 2x -m cos 2x = 3m - 2 [/TEX]

Điều kiện để phương trình có nghiệm :

[TEX] 4(m-1)^2 + m^2 > (3m-2)^2 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 5m^2 - 8m + 4 > 9m^2 - 12m + 4[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 4m^2 - 4m < 0 [/TEX]

[TEX]0 \le m \le 1[/TEX]

Ví dụ cho cách 2 :

Bài 2: Cho pt sau: [TEX]mcos{^2}x-4sinxcosx+m-2=0[/TEX] (1)
Tìm m để pt (1) có nghiệm thuộc (0;pi/4)

[TEX]x \in ( 0 ; \frac{\pi}{4} ) \Rightarrow cos x \not= 0 [/TEX]

Chia 2 vế cho [TEX]cos^2 x [/TEX] ta có :

[TEX]m - 4 tan x + ( m-2) ( 1 + tan^2 x ) = 0 [/TEX]

[TEX](m-2) tan^2 x - 4 tan x + 2(m-1) = 0 [/TEX]

[TEX]ycbt \Leftrightarrow tan x \in (0;1) [/TEX].

[TEX]TH1 : m =2 [/TEX] Phương trình tương đương với :

[TEX] 4 tan x = 2 \Leftrightarrow tan x = \frac12[/TEX] ( thỏa )

[TEX]TH2 : m \not= 2 [/TEX] ta có :

[TEX]\Delta' = 4 - 2 ( m-1)( m - 2) =- 2m^2 + 6m [/TEX]

[TEX]\Delta' \ge 0 \Leftrightarrow 0 \le m \le \frac32 [/TEX]

Khi đó phương trình có 2 nghiệm:

[TEX][ tan x = \frac{2 \pm \sqrt{ 6m - 2m^2 } }{ m - 2} [/TEX]

[TEX]ycbt \Leftrightarrow \left[ 0 < \frac{2 + \sqrt{6m - 2m^2}}{m -2} <1 (1)\\ 0 <\frac{2 - \sqrt{6m - 2m^2}}{m -2} < 1(2) [/TEX]

Giải (1) : [TEX](1) \Leftrightarrow \left{ m > 2 \\ \sqrt{6m - 2m^2 < m -4 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left{ m> 4 \\ m ^2 - 8m + 16 > - 2m ^2 + 6m [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left{ m> 4 \\ 3m ^2 - 14m + 16 > 0 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow m > 4[/TEX] ( thỏa )

Giải (2) :

[TEX](2) \Leftrightarrow 0<\frac{2 - \sqrt{6m - 2m^2}}{m -2} < 1 [/TEX]

Giải tiếp ta được

Tớ chưa tìm được cách nào hay hơn nên post tạm cách này vậy. Tớ sẽ cố gắng để tìm cách khác

[TEX]Note : \ \ ycbt[/TEX]: yêu cầu bài toán

 

[duynhan1]

Một dạng khá quen thuộc nhưng nhiều bạn hỏi.

Tìm min max của :
[TEX]\huge \red y = \frac{a. sin x + b . cos x}{c. sin x + d . cos x} [/TEX]

Cách làm :
Đưa về dạng [TEX]\al . sin x + \be. cos x = \ga [/TEX] rồi áp dụng điều kiện có nghiệm uẩ phương trình đó là [TEX]a^2+b^2\ge c^2[/TEX]

Ví dụ:Tìm min max :
[TEX]y = \frac{sinx + 2cosx + 1}{sinx + cosx - 2}(1)[/TEX]

[TEX]DK: sin x + cos x -2 \not= 0 \Leftrightarrow x \in R[/TEX]

[TEX](1) \Leftrightarrow (1-y) sin x+ (2-y) cos x = - 2y -1 [/TEX]

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi :

[TEX](1-y)^2 + (2-y)^2 \ge ( -2y-1)^2 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 4y^2 + 4y + 1 - 2y^2 + 6y - 5 \le 0 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow y^2 +5y - 2 \le 0 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{-5-\sqrt{33}}{2} \le y \le \frac{-5+\sqrt{33}}{2} [/TEX]

Bài tập áp dụng :

Tìm min max :
[TEX]y = ( 2sinx + cosx)( 2cosx - sinx)[/TEX]

.
&gt;-

 

[duynhan1]

Bữa nay lại biết thêm 1 dạng nữa :x

TÌM MAX:

[TEX]\huge y = sin^px.cos^qx[/TEX] với [TEX]\huge x \in [0;\frac{\pi}{2}] \ \ p,q \in N*[/TEX]

[TEX]y^2 = sin^{2p}x.cos^{2q} x [/TEX]. Mà theo BDT Co-si ta có:

[TEX] \huge p. \frac{sin^2 x}{p} + q. \frac{cos^2x}{q} \ge (p+q) . \sqrt[p+q]{\frac{sin^{2p}x.cos^{2q}x}{p^p.q^q}} \\ \Leftrightarrow \frac{1}{p+q} \ge \sqrt[p+q]{\frac{y^2}{p^p.q^q}}[/TEX]
[TEX]\huge \Leftrightarrow y^2 \le \frac{p^p.q^q}{(p+q)^{p+q}}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \huge \red \fbox{y \le \sqrt{\frac{p^p.q^q}{(p+q)^{p+q}}}[/TEX]

Và sau đây là bài tập vận dụng. Tìm max :

[TEX]1)y = sin^2x. cos^6 x \\ 2) y = sin^3 x . cos^5 x [/TEX]

 

[duynhan1]

BDT Jensen hàm tan:
[TEX]tan x + tan y \ge tan {\frac{x+y}{2}} \forall x,y \in [0;\frac{\pi}{2}) [/TEX]

Ta có :
[TEX]\huge tan x + tan y = \frac{2sin ( x+y)}{ cos{(x+y)} + cos{(x-y)} } \\ \ge \frac{4. sin{\frac{x+y}{2}} . cos{\frac{x+y}{2}}}{2. cos^2{\frac{x+y}{2}}} \\ = 2 tan {\frac{x+y}{2}} [/TEX]


BDT Jensen hàm sin:
[TEX]sin x + sin y \le 2 sin {\frac{x+y}{2}} \ \ \forall x,y \ \ thoa \ \ 0 \le x+y \le 2\pi [/TEX]

Ta có : [TEX]sin x + sin y = 2 sin {\frac{x+y}{2}}. cos{\frac{x-y}{2}} \le 2 sin {\frac{x+y}{2}}[/TEX]


BDT Jensen hàm cos :
[TEX]cos x + cos y \le 2 cos {\frac{x+y}{2}} \ \ \forall x,y \ \ thoa \ \ -\pi \le x+y \le \pi [/TEX]
Ta có : [TEX]cos x + cosy = 2 cos {\frac{x+y}{2}}. cos {\frac{x-y}{2}} \le 2 cos{\frac{x+y}{2}}[/TEX]

 

[duynhan1]

[TEX]\red \fbox{ \fbox{ \huge sin kx = k sin x}}[/TEX]

Xét với TH k lẻ :

[TEX]sin (2a+1) x = (2a+1) sin x ( a\in N*) [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (sin (2a+1) x - sin ( 2a -1 ) x ) + (sin ( 2 a-1) x - sin (2a-3) x)+...+ (sin 3x - sin x) = 2a . sin x[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 2( cos 2ax + cos ( 2a -2)x + ...+ cos 2x - a) sin x = 0 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left{ cos 2ax = cos ( 2a -2) x = ...= cos 2x = 1 \\ sin x = 0 [/TEX]


Xét với TH k chẵn :

[TEX]sin 2ax = 2a sin x ( a\in N*) [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (sin 2ax - sin (2a-2)x ) + (sin ( 2 a-2) x - sin (2a-4) x)+...+ sin 2x = 2a . sin x[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 2( cos (2a-1)x + cos ( 2a -3)x + ...+ cos x - a) sin x = 0 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left{ cos (2a-1)x = cos ( 2a -3) x = ...= cos x = 1 \\ sin x = 0 [/TEX]

Tương tự cho cos x. Bạn hãy giải phương trình:
[tex]cos (2k+1)x = (2k+1) cos x[/tex]

Ý tưởng là đoán trước sẽ có nghiệm sin x=0 hoặc cos x =0 nên ta thêm bớt để xuất hiện các hạng tử này

Ví dụ :

cos11x=11cosx

[TEX]cos 11 x + cos 9x - (cos 9x + cos 7x) + cos 7x + cos 5x -( cos 5x + cos 3x) + cos 3x + cos x = 12 cos x [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left[ cos x = 0 \\ cos 10 x - cos 8x + cos 6x - cos 4x + cos 2x = 6(vo nghiem) [/TEX]

 

[duynhan1]

Một số CT lượng giác cần chú ý khi giải phương trình lượng giác

[TEX]tan\ a + cot\ a = \frac{2}{ sin\ 2a}[/TEX]
Hay dùng : [TEX]tan\ x + cot\ x = \frac{2}{ sin\ 2x}[/TEX]
______________________________________________

[TEX]cos\ 3a = cos\ a( 3 - 4 cos^2\ a) = cos\ a( 4 sin^2\ a - 1) = cos\ a( 2 sin\ a-1)(2sin\ a+1)[/TEX]
[TEX]sin\ 3a = sin\ a( 3 - 4 sin^2\ a) = sin\ a(4 cos^2\ a -1) = sin\ a( 2 cos\ a-1)(2 cos\ a +1 )[/TEX]
Cần chú ý để rút nhân tử chung!
______________________________________________

[TEX]tan\ a \pm tan\ b = \frac{sin (a \pm b)}{cos\ a. cos\ b}[/TEX]
[TEX]cot\ a \pm cot\ b = \frac{sin ( b \pm a)}{sin\ a. cos\ b}[/TEX]

Bài tập thường gặp:
[TEX]tan\ x - tan\ 2x= tan\ 3x - tan\ 4x[/TEX]
______________________________________________

[TEX]tan\ a - cot\ a = \frac{- 2cos\ 2a}{sin\ 2a} [/TEX]

[TEX]sin^6\ a + cos^6\ a = 1 - \frac34 sin^2\ 2a[/TEX]
______________________________________________

Đặt [tex] t = tan x [/tex] thì ta có :
[tex] sin 2t = \frac{2t}{1+t^2} \\ cos 2t = \frac{1-t^2}{1+t^2} [/tex]
______________________________________________

[tex] sin^3 x sin3x + cos^3 x . cos 3x = cos^3 2x [/tex]
[tex]cos3x{cos}^{3}x-sin3x{sin}^{3}x = \frac14 ( 3 cos 4x + 1) [/tex]

Sẽ update sau....

 

[niemkieuloveahbu]

Tìm nghiệm thuộc (A,B) của phương trình

Để tìm nghiệm thuộc (a,b) của phương trình lượng giác,ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho phương trình.
Bước 2: Giải phương trình để tìm nghiệm [TEX]x=\alpha +\frac{2k\pi}{n},k,n \in Z[/TEX]
Bước 3: Tìm nghiệm thuộc (a,b):
[TEX]a<\alpha +\frac{2k\pi}{n}<b \Leftrightarrow ^{k,n\in Z} k_0,l_0 \Rightarrow x_0=\alpha +\frac{2k_0\pi}{n_0}[/TEX]

Ví dụ1: Tìm x thuộc đoạn [0,14] nghiệm đúng phương trình:
[TEX]cos3x-4cos2x+3cosx-4=0[/TEX]

Biến đổi phương trình về dạng:

[TEX]4cos^3x-3cosx-4(cos2x+1)+3cosx=0\\ \Leftrightarrow 4cos^3x-8cos^2x=0\\\Leftrightarrow cosx=0 \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+k\pi,k \in Z[/TEX]

Vì [TEX]x \in [0,14][/TEX] nên:

[TEX]0\leq \frac{\pi}{2}+k\pi\leq14\Leftrightarrow -\frac{1}{2}\leq k\leq \frac{14-\frac{\pi}{2}}{\pi}\Leftrightarrow k=0,1,2,3[/TEX]

Vậy phương trình có các nghiệm:
[TEX]x=\frac{\pi}{2},x=\frac{3\pi}{2},x=\frac{5\pi}{2},x=\frac{7\pi}{2}[/TEX]

Bài tập:
Bài 1:Tìm các nghiệm thuộc [TEX](\frac{\pi}{2},3\pi)[/TEX] của phương trình:
[TEX]sin(2x+\frac{5\pi}{2})-3cos(x-\frac{7\pi}{2})=1+2sinx[/TEX]
Bài 2: Tìm các nghiệm của phương trình:
[TEX]sin\frac{x}{2}-cos\frac{x}{2}=1-sinx[/TEX]
thoả mãn điều kiện : [TEX]|\frac{x}{2}-\frac{\pi}{2}| \leq \frac{3\pi}{4}[/TEX]


Loại nghiệm không thoả mãn điều kiện của phương trình
Phương pháp:
Để loại nghiệm không thoả mãn điều kiện có nghĩa của phương trình,ta thực hiện theo các bước:
Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho phương trình: [TEX]x\neq \beta+\frac{2l\pi}{n},l,n \in Z[/TEX]
Bước 2: Giải phương trình để tìm nghiệm [TEX]x_0=\alpha +\frac{2k\pi}{n},k,n \in Z[/TEX]
Bước 3: Kiểm tra điều kiện,ta lựa chọn một trong 2 phương pháp sau:
Phương pháp đại số:
Nghiệm [TEX]x_0[/TEX] bị loại khi và chỉ khi:
[TEX]\alpha +\frac{2k\pi}{n}=\beta+\frac{2l\pi}{n}(1)[/TEX]
Công việc quy về giải một phương trình nghiệm nguyên đã biết.
Chú ý: Để thực hiện như vậy ta phải đặt 2 hệ số của các vòng quay khác nhau.
Nghiệm [TEX]x_0[/TEX] chấp nhận được khi và chỉ khi:
[TEX]\alpha +\frac{2k\pi}{n}\neq\beta+\frac{2l\pi}{n}[/TEX]
Cái này ít dùng thường ta quy về (1) để giải.
Phương pháp hình học:
Biểu diễn các điểm [TEX]x=\beta+\frac{2l\pi}{n},l,n \in Z[/TEX] trên đường tròn đơn vị,khi đó ta được tập hợp các điểm:[TEX]C={C_1,C_2,...,C_p}[/TEX]
Biểu diễn các điểm [TEX]x=\alpha +\frac{2k\pi}{n},k,n \in Z[/TEX] trên đường tròn đơn vị khi đó ta được các tập điểm: [TEX]D={D_1,D_2,...,D_q}[/TEX]
Lấy tập E=D\C[TEX]={E_1,E_2,...,E_r}[/TEX] từ đó kết luận nghiệm của phương trình là:
[TEX]x= E_1+2k\pi,...x=E_r+2k\pi,k\in Z[/TEX]
Chú ý: Chỉ sử dụng phương pháp này khi họ nghiệm có ít nghiệm,nếu nhiều ta quy về phương pháp đại số.

VD: Điều kiện của phương trình là: [TEX]x\neq \frac{\pi}{4}+k\pi,k\in Z[/TEX]
Giải phương trình ta được: [TEX]x= \frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2},k\in Z[/TEX]
Vẽ hình

\Rightarrow Họ nghiệm của phương trình là: [TEX]x=-\frac{\pi}{4}+k\pi,k \in Z[/TEX]
Ví dụ2:Giải phương trình:
[TEX]\frac{sinx.cotg5x}{cos9x}=1[/TEX]

Điều kiện :
[TEX]\left{sin5x \neq 0\\ cos9x \neq 0\right. \Leftrightarrow \{x \neq \frac{l\pi}{5}\\x \neq \frac{\pi}{18}+\frac{l\pi}{9},l\in Z[/TEX]
Biến đổi phương trình về dạng:
[TEX]cos5x.sinx=cos9x.sin5x \Leftrightarrow sin6x-sin4x=sin14x-sin4x\\ \Leftrightarrow sin14x=sin6x \Leftrightarrow \left[14x=6x+2k\pi\\14x=-\pi -6x+2k\pi\right. \Leftrightarrow \[x=\frac{k\pi}{4}\\x=\frac{\pi}{20}+\frac{k\pi}{10},k\in Z [/TEX]

Kiểm tra điều kiện:
Với [TEX]x=\frac{k\pi}{4}[/TEX],ta cần có:
[TEX]\left{\frac{k\pi}{4} \neq \frac{l\pi}{5}\\ \frac{k\pi}{4}\neq \frac{\pi}{18}+\frac{l\pi}{9}\right.\Leftrightarro \left{5k\neq4l\\9k\neq 2+4l\right. \Leftrightarrow \left[k=4n+1\\k=4n+3\right.\Rightarrow\left[x=\frac{(4n+1)\pi}{4}\\x=\frac{(4n+3)\pi}{4}\right.n \in Z[/TEX]

Với [TEX]x=\frac{\pi}{20}+\frac{k\pi}{10} [/TEX], ta cần có:
[TEX]\left{\frac{\pi}{20}+\frac{k\pi}{10}\neq \frac{l\pi}{5}\\\frac{\pi}{20}+\frac{k\pi}{10}\neq \frac{\pi}{18}+\frac{l\pi}{9}\right. \Leftrightarrow \{1+2k\neq 4l\\18k\neq 1+20l[/TEX](luôn đúng)
[TEX]\Rightarrow x=\frac{\pi}{20}+\frac{k\pi}{10},k\in Z[/TEX]

Nếu làm theo (1) thì như sau:
Giả sử:
Xét [TEX] \frac{k\pi}{4}=\frac{\pi}{18}+\frac{l\pi}{9} \Leftrightarrow 9k=2+4l \Leftrightarrow l=\frac{9k-2}{4}=2k+\frac{k-2}{4}[/TEX]
[TEX]\text{ Do k,l \in Z \Rightarrow \frac{k-2}{4}\in Z \Rightarrow k=4m+2, m\in Z[/TEX]
Bài tập:
Bài 1:Giải các phương trình:
[TEX]1)\frac{3(cot2x+cos2x)}{cot2x-cos2x}-2sin2x=2\\2) 1+cot2x=\frac{1-cos2x}{sin^22x}[/TEX]
- Lựa chọn phương pháp nào còn tuỳ vào từng bài và từng người,,hi vọng có ích cho các bạn

 

[duynhan1]

Mọi góp ý, các bạn gửi tin nhắn riêng qua cho mình!!
Gửi tin nhắn cho mình tại đây :


Ai có những bài nào hay gặp, muốn post bài thì liên hệ mình để post bài !!
Chân thành cảm ơn !