Các bài toán thường gặp, cần đọc trước khi post bài

Thảo luận trong 'Hàm số và phương trình lượng giác' bắt đầu bởi duynhan1, 29 Tháng tám 2010.

Lượt xem: 8,317

Trạng thái chủ đề:
Không mở trả lời sau này.

  1. duynhan1

    duynhan1 Guest

    Sở hữu bí kíp ĐỖ ĐẠI HỌC ít nhất 24đ - Đặt chỗ ngay!

    Đọc sách & cùng chia sẻ cảm nhận về sách số 2


    Chào bạn mới. Bạn hãy đăng nhập và hỗ trợ thành viên môn học bạn học tốt. Cộng đồng sẽ hỗ trợ bạn CHÂN THÀNH khi bạn cần trợ giúp. Đừng chỉ nghĩ cho riêng mình. Hãy cho đi để cuộc sống này ý nghĩa hơn bạn nhé. Yêu thương!

    ;)

    Max quá rõ không cần ví dụ nữa :), min ví dụ bài sau :

    [TEX]sin^{10} x + (\frac{1}{\sqrt{2}})^{10}+ (\frac{1}{\sqrt{2}})^{10}+ (\frac{1}{\sqrt{2}})^{10}+ (\frac{1}{\sqrt{2}})^{10} \geq 5.\frac{1}{2^4} sin^2 x[/TEX]

    [TEX]cos^{10} x+ (\frac{1}{\sqrt{2}})^{10}+ (\frac{1}{\sqrt{2}})^{10}+ (\frac{1}{\sqrt{2}})^{10}+ (\frac{1}{\sqrt{2}})^{10} \ge 5.\frac{1}{2^4}cos ^2 x [/TEX]

    [TEX]\Rightarrow sin^{10} x + cos^{10} x \ge {\frac{5}{2^4}} - \frac{8}{\sqrt{2^5}} = \frac{1}{2^4} [/TEX]

    Min [TEX] sin^{10} x + cos^{10} x =\frac{1}{2^4} \Leftrightarrow sin x = cos x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} [/TEX]




    Topic bị khóa và sẽ được cập nhập thường xuyên các bài tập thường gặp :)
     
    Last edited by a moderator: 12 Tháng chín 2010
  2. duynhan1

    duynhan1 Guest

    Dạng 2 :

    [TEX] a( sin x \pm sin y ) = b ( cos x \pm cos y ) [/TEX]

    [TEX]\Leftrightarrow a sin x \pm b cos x = a sin y \pm bcos y [/TEX]

    [TEX]\Leftrightarrow sin( x \pm arcsin(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} ) ) = sin( y \pm arcsin(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} ) [/TEX]

    Ví dụ :
     
  3. duynhan1

    duynhan1 Guest

    Tài liệu phương trình lượng giác cơ bản :)
     

    Các file đính kèm:

    Mi minj thích bài này.
  4. duynhan1

    duynhan1 Guest

    . .

    Hy vọng nó có ích với các bạn :)
     

    Các file đính kèm:

  5. duynhan1

    duynhan1 Guest



    Sau đây là ví dụ cụ thế :

    [TEX]\Leftrightarrow cos x - 4 cos 2x + 4 - sin 2x - 4 sin x = 0 [/TEX](*)

    [TEX]\text{Dat :} \ \ \left{ a = sin x \\ b = cos x [/TEX]

    (*) [TEX]\Leftrightarrow b - 4 ( 1 - 2a^2 ) + 4 - 2ab - 4 a = 0 [/TEX]

    [TEX]\Leftrightarrow 8a^2 - 2 ( b+2)^2 + b = 0 [/TEX]

    [TEX] \Delta' = ( b+2)^2 - 8a = ( b-2)^2 [/TEX]

    [TEX]\Rightarrow \left[ a = \frac{b}{4} \\ a = \frac12[/TEX]

    [TEX]\Leftrightarrow \left[ sin x = \frac14 cos x \\ sin x = \frac12[/TEX]

    [TEX]TH1 : \ \sin x = \frac14 cos x \Leftrightarrow 4 sin x - cos x =0 [/TEX]

    [TEX]\Leftrightarrow \sqrt{17} ( sin x - arcsin(\frac{1}{\sqrt{17}} ) )= 0 [/TEX]

    [TEX]\Leftrightarrow x - arcsin(\frac{1}{\sqrt{17}}) = k \pi [/TEX]

    [TEX]\Leftrightarrow x= arcsin(\frac{1}{\sqrt{17}} )+ k \pi [/TEX]

    [TEX]TH2 : \ \ sin x = \frac12[/TEX]

    [TEX]\Leftrightarrow \left[ x = \frac{\pi}{6} + k 2 \pi \\ x = \frac{5 \pi}{6} + k 2\pi [/TEX]




    . . . . .
     
  6. duynhan1

    duynhan1 Guest

    Cách 1: Đưa về phương trình theo sin 2x, cos 2x

    [TEX](pt) \Leftrightarrow a. 2 sin^2 x + b. 2 sin x . cos x + c. 2 cos^2 x = 2d[/TEX]

    [TEX]\Leftrightarrow a(1- cos 2x) + b. sin 2x + c ( cos2x + 1 ) = 2d [/TEX]

    [TEX]\Leftrightarrow b. sin 2x + ( c- a ) cos 2x = 2d - a - c [/TEX]

    Điều kiện có nghiệm của pt : [TEX]b^2 + ( c-a)^2 \ge ( 2d - a - c)^2 [/TEX](*)

    (*) sẽ được giải trong từng trường hợp cụ thể nên mình không trình bày ở đây.

    Cách 2: Đưa về phương trình theo tan x

    [TEX]TH1 : cos x = 0 [/TEX] phương trình tương đương với :

    [TEX] a. sin^2 x = 2d[/TEX]

    ;) [TEX]\left{ a= 0 \\ d = 0[/TEX] Phương trình có vô số nghiệm
    ;) [TEX]\left{a=0 \\ d\not= 0 [/TEX] Phương trình vô nghiệm
    ;) [TEX]\left{ a\not= 0 [/TEX]: Phương trình tương đương với :

    [TEX] sin^2 x = \frac{2d}{a} [/TEX].

    [TEX]\Leftrightarrow 1 - cos 2x = \frac{4d}{a} [/TEX]

    [TEX]\Leftrightarrow cos 2x =\frac{a-4d}{a}[/TEX]

    Điều kiện có nghiệm : [TEX]{-1 \le \frac{a-4d}{a} \le 1}[/TEX].

    [TEX]TH2 : cos x \not = 0 [/TEX]. Chia 2 vế cho [TEX]cos^2 x [/TEX] và để ý [TEX]1+ tan62 x = \frac{1}{cos^2x} [/TEX] Ta có :

    [TEX] a. tan^2 x + b . tan x + c = 2d ( 1 + tan^2 x ) [/TEX]

    [TEX]\Leftrightarrow ( a - 2d) tan^2 x + b . tan x + c - 2d = 0 [/TEX]

    ;) [TEX] a- 2d = 0 [/TEX] Thế vào :)

    ;) [TEX]a- 2d \not= 0 [/TEX] Lập delta và giải.

    Ví dụ :
     
    Last edited by a moderator: 5 Tháng chín 2010
  7. duynhan1

    duynhan1 Guest

    Một dạng khá quen thuộc nhưng nhiều bạn hỏi.
    .
    :)>-
     
  8. duynhan1

    duynhan1 Guest

    Bữa nay lại biết thêm 1 dạng nữa :x

    Và sau đây là bài tập vận dụng. Tìm max :

    [TEX]1)y = sin^2x. cos^6 x \\ 2) y = sin^3 x . cos^5 x [/TEX]
     
  9. duynhan1

    duynhan1 Guest

    BDT Jensen hàm tan:
    [TEX]tan x + tan y \ge tan {\frac{x+y}{2}} \forall x,y \in [0;\frac{\pi}{2}) [/TEX]

    Ta có :
    [TEX]\huge tan x + tan y = \frac{2sin ( x+y)}{ cos{(x+y)} + cos{(x-y)} } \\ \ge \frac{4. sin{\frac{x+y}{2}} . cos{\frac{x+y}{2}}}{2. cos^2{\frac{x+y}{2}}} \\ = 2 tan {\frac{x+y}{2}} [/TEX]


    BDT Jensen hàm sin:
    [TEX]sin x + sin y \le 2 sin {\frac{x+y}{2}} \ \ \forall x,y \ \ thoa \ \ 0 \le x+y \le 2\pi [/TEX]

    Ta có : [TEX]sin x + sin y = 2 sin {\frac{x+y}{2}}. cos{\frac{x-y}{2}} \le 2 sin {\frac{x+y}{2}}[/TEX]


    BDT Jensen hàm cos :
    [TEX]cos x + cos y \le 2 cos {\frac{x+y}{2}} \ \ \forall x,y \ \ thoa \ \ -\pi \le x+y \le \pi [/TEX]
    Ta có : [TEX]cos x + cosy = 2 cos {\frac{x+y}{2}}. cos {\frac{x-y}{2}} \le 2 cos{\frac{x+y}{2}}[/TEX]
     
    Last edited by a moderator: 28 Tháng mười hai 2010
  10. duynhan1

    duynhan1 Guest

    [TEX]\red \fbox{ \fbox{ \huge sin kx = k sin x}}[/TEX]

    Xét với TH k lẻ :

    [TEX]sin (2a+1) x = (2a+1) sin x ( a\in N*) [/TEX]

    [TEX]\Leftrightarrow (sin (2a+1) x - sin ( 2a -1 ) x ) + (sin ( 2 a-1) x - sin (2a-3) x)+...+ (sin 3x - sin x) = 2a . sin x[/TEX]

    [TEX]\Leftrightarrow 2( cos 2ax + cos ( 2a -2)x + ...+ cos 2x - a) sin x = 0 [/TEX]

    [TEX]\Leftrightarrow \left{ cos 2ax = cos ( 2a -2) x = ...= cos 2x = 1 \\ sin x = 0 [/TEX]


    Xét với TH k chẵn :

    [TEX]sin 2ax = 2a sin x ( a\in N*) [/TEX]

    [TEX]\Leftrightarrow (sin 2ax - sin (2a-2)x ) + (sin ( 2 a-2) x - sin (2a-4) x)+...+ sin 2x = 2a . sin x[/TEX]

    [TEX]\Leftrightarrow 2( cos (2a-1)x + cos ( 2a -3)x + ...+ cos x - a) sin x = 0 [/TEX]

    [TEX]\Leftrightarrow \left{ cos (2a-1)x = cos ( 2a -3) x = ...= cos x = 1 \\ sin x = 0 [/TEX]

    Tương tự cho cos x. Bạn hãy giải phương trình:
    [tex]cos (2k+1)x = (2k+1) cos x[/tex]

    Ý tưởng là đoán trước sẽ có nghiệm sin x=0 hoặc cos x =0 nên ta thêm bớt để xuất hiện các hạng tử này ;)

    Ví dụ :
    [TEX]cos 11 x + cos 9x - (cos 9x + cos 7x) + cos 7x + cos 5x -( cos 5x + cos 3x) + cos 3x + cos x = 12 cos x [/TEX]

    [TEX]\Leftrightarrow \left[ cos x = 0 \\ cos 10 x - cos 8x + cos 6x - cos 4x + cos 2x = 6(vo nghiem) [/TEX]
     
    Last edited by a moderator: 21 Tháng năm 2011
  11. duynhan1

    duynhan1 Guest

    Một số CT lượng giác cần chú ý khi giải phương trình lượng giác

    [TEX]tan\ a + cot\ a = \frac{2}{ sin\ 2a}[/TEX]
    Hay dùng : [TEX]tan\ x + cot\ x = \frac{2}{ sin\ 2x}[/TEX]
    ______________________________________________

    [TEX]cos\ 3a = cos\ a( 3 - 4 cos^2\ a) = cos\ a( 4 sin^2\ a - 1) = cos\ a( 2 sin\ a-1)(2sin\ a+1)[/TEX]
    [TEX]sin\ 3a = sin\ a( 3 - 4 sin^2\ a) = sin\ a(4 cos^2\ a -1) = sin\ a( 2 cos\ a-1)(2 cos\ a +1 )[/TEX]
    Cần chú ý để rút nhân tử chung!
    ______________________________________________

    [TEX]tan\ a \pm tan\ b = \frac{sin (a \pm b)}{cos\ a. cos\ b}[/TEX]
    [TEX]cot\ a \pm cot\ b = \frac{sin ( b \pm a)}{sin\ a. cos\ b}[/TEX]

    Bài tập thường gặp:
    [TEX]tan\ x - tan\ 2x= tan\ 3x - tan\ 4x[/TEX]
    ______________________________________________

    [TEX]tan\ a - cot\ a = \frac{- 2cos\ 2a}{sin\ 2a} [/TEX]

    [TEX]sin^6\ a + cos^6\ a = 1 - \frac34 sin^2\ 2a[/TEX]
    ______________________________________________

    Đặt [tex] t = tan x [/tex] thì ta có :
    [tex] sin 2t = \frac{2t}{1+t^2} \\ cos 2t = \frac{1-t^2}{1+t^2} [/tex]
    ______________________________________________

    [tex] sin^3 x sin3x + cos^3 x . cos 3x = cos^3 2x [/tex]
    [tex]cos3x{cos}^{3}x-sin3x{sin}^{3}x = \frac14 ( 3 cos 4x + 1) [/tex]

    Sẽ update sau....
     
    Last edited by a moderator: 7 Tháng mười 2011

  12. Tìm nghiệm thuộc (A,B) của phương trình

    Để tìm nghiệm thuộc (a,b) của phương trình lượng giác,ta thực hiện theo các bước:

    Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho phương trình.
    Bước 2: Giải phương trình để tìm nghiệm [TEX]x=\alpha +\frac{2k\pi}{n},k,n \in Z[/TEX]
    Bước 3: Tìm nghiệm thuộc (a,b):
    [TEX]a<\alpha +\frac{2k\pi}{n}<b \Leftrightarrow ^{k,n\in Z} k_0,l_0 \Rightarrow x_0=\alpha +\frac{2k_0\pi}{n_0}[/TEX]

    Ví dụ1: Tìm x thuộc đoạn [0,14] nghiệm đúng phương trình:
    [TEX]cos3x-4cos2x+3cosx-4=0[/TEX]

    Biến đổi phương trình về dạng:

    [TEX]4cos^3x-3cosx-4(cos2x+1)+3cosx=0\\ \Leftrightarrow 4cos^3x-8cos^2x=0\\\Leftrightarrow cosx=0 \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+k\pi,k \in Z[/TEX]

    Vì [TEX]x \in [0,14][/TEX] nên:

    [TEX]0\leq \frac{\pi}{2}+k\pi\leq14\Leftrightarrow -\frac{1}{2}\leq k\leq \frac{14-\frac{\pi}{2}}{\pi}\Leftrightarrow k=0,1,2,3[/TEX]

    Vậy phương trình có các nghiệm:
    [TEX]x=\frac{\pi}{2},x=\frac{3\pi}{2},x=\frac{5\pi}{2},x=\frac{7\pi}{2}[/TEX]

    Bài tập:
    Bài 1:Tìm các nghiệm thuộc [TEX](\frac{\pi}{2},3\pi)[/TEX] của phương trình:
    [TEX]sin(2x+\frac{5\pi}{2})-3cos(x-\frac{7\pi}{2})=1+2sinx[/TEX]
    Bài 2: Tìm các nghiệm của phương trình:
    [TEX]sin\frac{x}{2}-cos\frac{x}{2}=1-sinx[/TEX]
    thoả mãn điều kiện : [TEX]|\frac{x}{2}-\frac{\pi}{2}| \leq \frac{3\pi}{4}[/TEX]


    Loại nghiệm không thoả mãn điều kiện của phương trình

    Phương pháp:
    Để loại nghiệm không thoả mãn điều kiện có nghĩa của phương trình,ta thực hiện theo các bước:
    Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho phương trình: [TEX]x\neq \beta+\frac{2l\pi}{n},l,n \in Z[/TEX]
    Bước 2: Giải phương trình để tìm nghiệm [TEX]x_0=\alpha +\frac{2k\pi}{n},k,n \in Z[/TEX]
    Bước 3: Kiểm tra điều kiện,ta lựa chọn một trong 2 phương pháp sau:
    Phương pháp đại số:
    Nghiệm [TEX]x_0[/TEX] bị loại khi và chỉ khi:
    [TEX]\alpha +\frac{2k\pi}{n}=\beta+\frac{2l\pi}{n}(1)[/TEX]
    Công việc quy về giải một phương trình nghiệm nguyên đã biết.
    Chú ý: Để thực hiện như vậy ta phải đặt 2 hệ số của các vòng quay khác nhau.
    Nghiệm [TEX]x_0[/TEX] chấp nhận được khi và chỉ khi:
    [TEX]\alpha +\frac{2k\pi}{n}\neq\beta+\frac{2l\pi}{n}[/TEX]
    Cái này ít dùng thường ta quy về (1) để giải.
    Phương pháp hình học:
    Biểu diễn các điểm [TEX]x=\beta+\frac{2l\pi}{n},l,n \in Z[/TEX] trên đường tròn đơn vị,khi đó ta được tập hợp các điểm:[TEX]C={C_1,C_2,...,C_p}[/TEX]
    Biểu diễn các điểm [TEX]x=\alpha +\frac{2k\pi}{n},k,n \in Z[/TEX] trên đường tròn đơn vị khi đó ta được các tập điểm: [TEX]D={D_1,D_2,...,D_q}[/TEX]
    Lấy tập E=D\C[TEX]={E_1,E_2,...,E_r}[/TEX] từ đó kết luận nghiệm của phương trình là:
    [TEX]x= E_1+2k\pi,...x=E_r+2k\pi,k\in Z[/TEX]
    Chú ý: Chỉ sử dụng phương pháp này khi họ nghiệm có ít nghiệm,nếu nhiều ta quy về phương pháp đại số.

    VD: Điều kiện của phương trình là: [TEX]x\neq \frac{\pi}{4}+k\pi,k\in Z[/TEX]
    Giải phương trình ta được: [TEX]x= \frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2},k\in Z[/TEX]
    Vẽ hình
    [​IMG]

    \Rightarrow Họ nghiệm của phương trình là: [TEX]x=-\frac{\pi}{4}+k\pi,k \in Z[/TEX]
    Ví dụ2:Giải phương trình:
    [TEX]\frac{sinx.cotg5x}{cos9x}=1[/TEX]

    Điều kiện :
    [TEX]\left{sin5x \neq 0\\ cos9x \neq 0\right. \Leftrightarrow \{x \neq \frac{l\pi}{5}\\x \neq \frac{\pi}{18}+\frac{l\pi}{9},l\in Z[/TEX]
    Biến đổi phương trình về dạng:
    [TEX]cos5x.sinx=cos9x.sin5x \Leftrightarrow sin6x-sin4x=sin14x-sin4x\\ \Leftrightarrow sin14x=sin6x \Leftrightarrow \left[14x=6x+2k\pi\\14x=-\pi -6x+2k\pi\right. \Leftrightarrow \[x=\frac{k\pi}{4}\\x=\frac{\pi}{20}+\frac{k\pi}{10},k\in Z [/TEX]

    Kiểm tra điều kiện:
    Với [TEX]x=\frac{k\pi}{4}[/TEX],ta cần có:
    [TEX]\left{\frac{k\pi}{4} \neq \frac{l\pi}{5}\\ \frac{k\pi}{4}\neq \frac{\pi}{18}+\frac{l\pi}{9}\right.\Leftrightarro \left{5k\neq4l\\9k\neq 2+4l\right. \Leftrightarrow \left[k=4n+1\\k=4n+3\right.\Rightarrow\left[x=\frac{(4n+1)\pi}{4}\\x=\frac{(4n+3)\pi}{4}\right.n \in Z[/TEX]

    Với [TEX]x=\frac{\pi}{20}+\frac{k\pi}{10} [/TEX], ta cần có:
    [TEX]\left{\frac{\pi}{20}+\frac{k\pi}{10}\neq \frac{l\pi}{5}\\\frac{\pi}{20}+\frac{k\pi}{10}\neq \frac{\pi}{18}+\frac{l\pi}{9}\right. \Leftrightarrow \{1+2k\neq 4l\\18k\neq 1+20l[/TEX](luôn đúng)
    [TEX]\Rightarrow x=\frac{\pi}{20}+\frac{k\pi}{10},k\in Z[/TEX]

    Nếu làm theo (1) thì như sau:
    Giả sử:
    Xét [TEX] \frac{k\pi}{4}=\frac{\pi}{18}+\frac{l\pi}{9} \Leftrightarrow 9k=2+4l \Leftrightarrow l=\frac{9k-2}{4}=2k+\frac{k-2}{4}[/TEX]
    [TEX]\text{ Do k,l \in Z \Rightarrow \frac{k-2}{4}\in Z \Rightarrow k=4m+2, m\in Z[/TEX]
    Bài tập:
    Bài 1:Giải các phương trình:
    [TEX]1)\frac{3(cot2x+cos2x)}{cot2x-cos2x}-2sin2x=2\\2) 1+cot2x=\frac{1-cos2x}{sin^22x}[/TEX]
    - Lựa chọn phương pháp nào còn tuỳ vào từng bài và từng người,:),hi vọng có ích cho các bạn
     
    Last edited by a moderator: 4 Tháng mười hai 2011
  13. duynhan1

    duynhan1 Guest

    Mọi góp ý, các bạn gửi tin nhắn riêng qua cho mình!!
    Gửi tin nhắn cho mình tại đây :
    [​IMG]

    Ai có những bài nào hay gặp, muốn post bài thì liên hệ mình để post bài !!
    Chân thành cảm ơn !
     
    Last edited by a moderator: 22 Tháng một 2012
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted
Trạng thái chủ đề:
Không mở trả lời sau này.

CHIA SẺ TRANG NÀY

-->