Các bài hệ phương trình rất khó ( toàn bài thi chuyên )

[neverquit]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Giải hệ phương trình
$$\left\{ \begin{array}{l} x - y = 5 \\ \sqrt{2x+1} - \sqrt{y+2} = 2 \end{array} \right.$$

( Năng khiếu 2006)

2. Giải hệ phương trình
$$\left\{ \begin{array}{l} x^2 + y^2 = 2x \\ (x-1)^3 - y^3 = 1 \end{array} \right.$$

( Khoa học tự nhiên 2008)

3. Giải hệ phương trình
$$\left\{ \begin{array}{l} 2x^3 = 2y^2 + y \\ 2y^3 = 2x^2 + x \end{array} \right.$$
(ĐHSP TP HCM 2006)

4. Giải hệ phương trình
$$\left\{ \begin{array}{l} x^2 - 3xy + 2y^2 + x - y = 0 \\ x^2 -2xy + y^2 -5x + 7y = 0 \end{array} \right.$$
( Lương Thế Vinh 2001 )

5. Giải hệ pt
$$\left\{ \begin{array}{l} (x + y)(x+z) = 8 \\ (x+y)(z+y) = 16 \\ (z+y)(x+z) = 32 \end{array} \right.$$

 

[girltoanpro1995]

1. Giải hệ phương trình
$$\left\{ \begin{array}{l} x - y = 5 \\ \sqrt{2x+1} - \sqrt{y+2} = 2 \end{array} \right.$$

( Năng khiếu 2006)

Thế .

2. Giải hệ phương trình
$$\left\{ \begin{array}{l} x^2 + y^2 = 2x \\ (x-1)^3 - y^3 = 1 \end{array} \right.$$

( Khoa học tự nhiên 2008)

HĐT

3. Giải hệ phương trình
$$\left\{ \begin{array}{l} 2x^3 = 2y^2 + y \\ 2y^3 = 2x^2 + x \end{array} \right.$$
(ĐHSP TP HCM 2006)

(1) -(2).
Hệ pt đối xứng.

5. Giải hệ pt
$$\left\{ \begin{array}{l} (x + y)(x+z) = 8 \\ (x+y)(z+y) = 16 \\ (z+y)(x+z) = 32 \end{array} \right.$$

Đặt x+y=a, x+z=b, z+y=c.
Công vs trừ pt.

 

[ms.sun]

4. Giải hệ phương trình
$$\left\{ \begin{array}{l} x^2 - 3xy + 2y^2 + x + y = 0 \\ x^2 -2xy + y^2 -5x + 7y = 0 \end{array} \right.$$
( Lương Thế Vinh 2001 )

5. Giải hệ pt
$$\left\{ \begin{array}{l} (x + y)(x+z) = 8 \\ (x+y)(z+y) = 16 \\ (z+y)(x+z) = 32 \end{array} \right.$$

4, lấy phương trình trên trừ phương trình dưới :|
[TEX]\Rightarrow -xy+y^2+6x-6y=0 \Leftrightarrow (x-y)(6-y)=0 \Leftrightarrow .....[/TEX]

5, nhân 3 cái phương trình vào với nhau
[TEX][(x+y)(y+z)(x+z)]^2=4096[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow (x+y)(y+z)(z+x)= \pm 64[/TEX]
đến đây thế vào là ok :|

 

[bboy114crew]

2. Giải hệ phương trình
$$\left\{ \begin{array}{l} x^2 + y^2 = 2x \\ (x-1)^3 - y^3 = 1 \end{array} \right.$$

( Khoa học tự nhiên 2008)

3. Giải hệ phương trình
$$\left\{ \begin{array}{l} 2x^3 = 2y^2 + y \\ 2y^3 = 2x^2 + x \end{array} \right.$$
(ĐHSP TP HCM 2006)

2.
$$\left\{ \begin{array}{l} x^2 + y^2 = 2x \\ (x-1)^3 - y^3 = 1 \end{array} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}(x-1)^2+y^2=1 \\ (x-1)^3 - y^3 = 1 \end{array} \right.$$
đặt:
[TEX]x-1=z;[/TEX]
ta có:
$$\left\{ \begin{array}{l}z^2+y^2=1 \\z^3 - y^3 = 1 \end{array} \right.$$
đến đây dễ rùi!
3.
trừ hai PT cho nhau ta được:
[TEX](x-y)(2x^2+2xy+2y^2+x+y+1)=0[/TEX]

 

[vuotlensophan]

giải hệ pt nghiệm nguyên

x+y=z­
[TEX]x^3+y^3=z^2[/TEX]

 

[thatki3m_kut3]

[TEX]x^3+y^3=z^2\Rightarrow x^2-xy+y^2=z[/TEX]
\Rightarrow[TEX]x^2-xy+y^2=x+y[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]x^2-(y+1)x+y^2-y=0[/TEX]
Để pt có nghiệm thì [TEX]\triangle \geq 0[/TEX]
\Rightarrow[TEX](y+1)^2-4(y^2-y) \geq 0[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX] -3y^2+6y+1 \geq 0 [/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]3(y-1)^2 \leq 4[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX](y-1)^2 \leq \frac{4}{3}[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]\frac{-2}{\sqrt{3}}+1\leq y \leq \frac{2}{\sqrt{3}}+1[/TEX]
Vì y nguyên nên suy ra: 0\leqy\leq2 \Rightarrow y=0;1;2
Thay vào tìm được x, z.

 

[neverquit]

4, lấy phương trình trên trừ phương trình dưới :|
[TEX]\Rightarrow -xy+y^2+6x-6y=0 \Leftrightarrow (x-y)(6-y)=0 \Leftrightarrow .....[/TEX]

XIn lỗi bạn nhé !! Mình ghi sai một cái dấu :-SSbạn có thể làm lại cho mình không ? Bài này nằm trong thi trường chuyên Lương Thế Vinh năm 2001 đấy bạn

$$\left\{ \begin{array}{l} x^2 - 3xy + 2y^2 + x - y = 0 \\ x^2 -2xy + y^2 -5x + 7y = 0 \end{array} \right.$$
( Lương Thế Vinh 2001 )

Mình lấy pt(1) - (2) được thế này rồi bí luôn
$$-xy + y^2 + 6x -8y = 0$$

 

[neverquit]

Bổ sung thêm mấy bài nhé các bạn

6. Giải hpt

$$\left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{x^3} + y^3 = 14 \\ \frac{y}{x^2} + \frac{y^2}{x} = -2 \end{array} \right.$$

(Lương Thế Vinh 2005)

7. Giải hpt

$$\left\{ \begin{array}{l} 2x^2 - x + 2y = 4xy \\ x^2 + 2xy = 4 \end{array} \right.$$

( Năng Khiếu 2008)

8. Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm duy nhất

$$\left\{ \begin{array}{l} 2x \geq m- 1 \\ mx \geq 1 \end{array} \right.$$

(Tp.HCM)

9. Giải hệ phương trình

$$\left\{ \begin{array}{l} \sqrt{x} + \sqrt{y+4} = 2 \\ \sqrt{y} + \sqrt{x+4} = 2 \end{array} \right.$$

10. Xác định m để hệ pt
$$\left\{ \begin{array}{l} \sqrt{1 - x} + \sqrt{y} = m \\ \sqrt{1 - y} + \sqrt{x} = m \end{array} \right.$$

có nghiệm duy nhất

 

[trydan]

7. Giải hpt
$$\left\{ \begin{array}{l} 2x^2 - x + 2y = 4xy(1) \\ x^2 + 2xy = 4 \end{array} \right.$$
( Năng Khiếu 2008)

9. Giải hệ phương trình
$$\left\{ \begin{array}{l} \sqrt{x} + \sqrt{y+4} = 2(1) \\ \sqrt{y} + \sqrt{x+4} = 2(2) \end{array} \right.$$

Bài 7:

Bài 9:

XIn lỗi bạn nhé !! Mình ghi sai một cái dấu :-SSbạn có thể làm lại cho mình không ? Bài này nằm trong thi trường chuyên Lương Thế Vinh năm 2001 đấy bạn

[tex]\left\{ \begin{array}{l} x^2 - 3xy + 2y^2 + x - y = 0 (1)\\ x^2 -2xy + y^2 -5x + 7y = 0 (2_\end{array} \right.[/tex]
( Lương Thế Vinh 2001 )

Mình lấy pt(1) - (2) được thế này rồi bí luôn
$$-xy + y^2 + 6x -8y = 0$$

Mình thường thấy đối với dạng này thì từ (1) hoặc (2) khi ta lập biệt thức

thì

từ đó suy ra ngay giá trị của x hoặc y
____ Bạn xem lại đề lần nữa nhé

 

[bananamiss]

XIn lỗi bạn nhé !! Mình ghi sai một cái dấu :-SSbạn có thể làm lại cho mình không ? Bài này nằm trong thi trường chuyên Lương Thế Vinh năm 2001 đấy bạn

$$\left\{ \begin{array}{l} x^2 - 3xy + 2y^2 + x - y = 0 \\ x^2 -2xy + y^2 -5x + 7y = 0 \end{array} \right.$$
( Lương Thế Vinh 2001 )

Mình lấy pt(1) - (2) được thế này rồi bí luôn
$$-xy + y^2 + 6x -8y = 0$$

[TEX](1)+(2) \Leftrightarrow 2x^2-5xy-4x+3y^3+6y=0[/TEX]

[TEX]\triangle_x=y^2-8y+16[/TEX]

[TEX]pt \Leftrightarrow (2x-3y)(x-y-2)=0 \Leftrightarrow ...[/TEX]

6. Giải hpt

$$\left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{x^3} + y^3 = 14 \\ \frac{y}{x^2} + \frac{y^2}{x} = -2 \end{array} \right.$$

(Lương Thế Vinh 2005)

[TEX]dat \ \left{ \frac{1}{x}=a \\ y=b[/TEX]

[TEX]hpt \Leftrightarrow \left{ a^3+b^3=-14 \\ a^2b+b^2a=-2[/TEX]

hệ đối xứng

 

[duynhan1]

10. Xác định m để hệ pt

có nghiệm duy nhất

Nhận thấy nếu

là nghiệm của hệ phương trình thì

cũng là nghiệm của hệ phương trình, nên điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất là :

Với

, ta có hệ tương đương với :

Cộng vế theo vế ta có :

Áp dụng Bunhiacopxky thì ta đuợc

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi :

Thử lại :

là nghiệm của hệ phương trình.

Kết luận:

thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

 

[duynhan1]

8. Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm duy nhất

$$\left\{ \begin{array}{l} 2x \geq m- 1 \\ mx \geq 1 \end{array} \right.$$

(Tp.HCM)

• Với [TEX]m >0 [/TEX], ta có hệ bất phương trình tương đương với :
  [TEX]\left{ x \ge \frac{m}{2} - \frac12 \\ x \ge \frac{1}{m} [/TEX]
  [TEX]\Rightarrow [/TEX] Không tồn tại m để hệ có nghiệm duy nhất.
  
• Với m=0, ta có hệ bất phương trình vô nghiệm.
  
• Với [TEX]m<0 [/TEX] ta có hệ bất phương trình tương đương với :
  [TEX]\left{ x \ge \frac{m}{2} - \frac12 \\ x \le \frac{1}{m} [/TEX]
  
  
  Hệ có nghiệm duy nhất
  [TEX]\Leftrightarrow \frac{m}{2} - \frac12 = \frac{1}{m} \Leftrightarrow \left[ m=-1(thoa\ m<0) \\ m=2 (loai)[/TEX]​

Kết luận : [TEX]m=-1[/TEX] thì hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất.

 

[neverquit]

Các bài hơi hóc về định lí Vi-et

1. Cho pt bậc 2 $$x^2 + px + q = 0$$ có 2 nghiệm dương $$0 < x_1 < x_2$$. Lập pt bậc 2 có các nghiệm là $$\sqrt{x_1}(x_2 - 1) và \sqrt{x_2}(1 - x_1)$$

2. Giả sử các pt $$ax^2 +bx + c = 0 (1) và cy^2 + dy + a = 0 (2)$$ (a, c khác 0) có các nghiệm tương ứng là $$x_1 ; x_2; y_1; y_2$$. Chứng mình rằng $$x_1^2 + x_2^2 + y_1^2 + y_2^2$$ \geq 4

3. Cho $$(m+1)x^2 - (m-1)x + m + 3 =0$$. Tìm tất cả các số nguyên m sao cho pt có 2 nghiệm $$x_1; x_2; x_1^2 + x_2^2 \in \ Z$$

4. Cho a, b là 2 số thực thỏa điều kiện $$5a + b =22$$. Biết pt $$x^2 +ax + b = 0$$ có 2 nghiệm là 2 số nguyên dương. Hãy tìm 2 nghiệm đó

 

[thatki3m_kut3]

4,
Gọi [TEX]x_1, x_2 [/TEX] là 2 nghiệm dương của phương trình, [TEX]x_1 < x_2[/TEX]
Ta có: a=[TEX]x_1-x_2, b=x_1x_2[/TEX] nên [TEX]5(-x_1-x_2)+x_1x_2=22[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]x_1(x_2-5)-5(x_2-5)=47 \Leftrightarrow (x_1-5)(x_2-5)=47 [/TEX] (*)
Ta có: -4\leq[TEX]x_1-5 \leq x_2-5[/TEX] nên (*) \Leftrightarrow [TEX]\left{\begin{x_1-5=1}\\{x_2-5=47}[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]\left{\begin{x_1=6}\\{x_2=52}[/TEX]
Khi đó: a=-58 và b=312 thoả mãn 5a+b=22
Vậy hai nghiệm cần tìm là:[TEX]x_1=6 va x_2=52[/TEX]