Theo mình
Gọi M(m;-2) là điểm thuộc đường thẳng y=-2.
Đường thẳng (d) qua M sẻ có hsg là k => (d) : k(x-m)-2.
Theo gt, (d) tiếp xúc với (C) tương đương hệ sau có nghiệm:
[tex]\left\{ \begin{array}{l} x^3-3x^2+2=k(x-m)-2 \\ 3x^2-6x=k \end{array} \right.[/tex]. (Áp dụng cái này:khi họ 2 đường cong tiếp xúc thì: [tex]\left\{ \begin{array}{l} Pt(C)=pt(d) \\ Pt(C)' = Pt(d)' \end{array} \right.[/tex]. (Pt là phương trình).
<=> [TEX]x^3-3x^2+2=(3x^2-6x)(x-m)-2[/TEX] có nghiệm.
<=> [TEX](x-2)[2x^2+(1-3m)x+2]=0[/TEX] có nghiệm.
<=> x=2 hoặc [TEX]2x^2+(1-3m)x+2=0[/TEX] (1) có nghiệm.
**Với x=2=>k=0=>(d):y=-2. Ta nhận thấy, không có tiếp tuyến nào của (C) vuông góc với đường thẳng y=-2. Vì vậy theo yêu cầu bài toán ta có:
[tex]\left\{ \begin{array}{l} Denta>0 \\ k_1=3x_1^2-6x_1 \\ k_2=3x_2^2-6x_2 \\ k_1.k_2=-1 \end{array} \right.[/tex]
<=> [tex]\left\{ \begin{array}{l} Denta= (1-3m)^2-16>0 \\ 8+2(1-3m)+2\neq0. \\ 9x_1.x_2(x_1-2)(x_2-2)=-1 \end{array} \right.[/tex]
<=> [tex]\left\{ \begin{array}{l} 9m^2-6m-15>0 \\ m\neq0 \\ 9x_1.x_2[x_1.x_2-2(x_1+x_2)+4]=-1 \end{array} \right.[/tex]
<=> [tex]\left\{ \begin{array}{l} m<-1 \\ m>\frac{15}{9} \\ m\neq2 \\ 9[1-2.(\frac{3m-1}{2})+4]=-1 \end{array} \right.[/tex]
<=> m=[TEX]\frac{55}{27}[/TEX]
Vậy M([TEX]\frac{55}{27}[/TEX];-2) là điểm cần tìm.
................Mình không biết là đúng hay sai nữa. Nếu sai mong mọi người chỉ bảo thêm ạ.