Toán 9 C/m X^2+Y^2+X^2<11

[DABE Kawasaki]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho 3 số x,y,z t/m [tex]\left\{\begin{matrix} x,y,z\in \left [ -1,3 \right ] & \\ x+y+z=3& \end{matrix}\right.[/tex]
C/m [tex]X^2+Y^2+Z^2\leq 11[/tex]

 

[Quân (Chắc Chắn Thế)]

Cầu Chúa cho biến [TEX]x,y,z[/TEX] không khác gì [TEX]X,Y,Z[/TEX]

Vì [tex]-1\leq x,y,z\leq 3 \\[/tex]
[tex]\Rightarrow (x-(-1))(x-3)\leq 0 \\ \Leftrightarrow x^2\leq ((-1)+3)x-(-1).3=2x+3[/tex]

[tex]\Rightarrow \sum x^2\leq 2(\sum x)+9=....[/tex]

 

[7 1 2 5]

Cầu Chúa cho biến [TEX]x,y,z[/TEX] không khác gì [TEX]X,Y,Z[/TEX]

Vì [tex]-1\leq x,y,z\leq 3 \\[/tex]
[tex]\Rightarrow (x-(-1))(x-3)\leq 0 \\ \Leftrightarrow x^2\leq ((-1)+3)x-(-1).3=2x+3[/tex]

[tex]\Rightarrow \sum x^2\leq 2(\sum x)+9=....[/tex]

Và dấu "=" xảy ra khi ....?

 

[Quân (Chắc Chắn Thế)]

Và dấu "=" xảy ra khi ....?

Theo cái BDT ở trên thì [tex]x,y,z[/tex] hoặc [TEX]= -1[/TEX], hoặc [TEX]=3[/TEX]
Khi đó, dễ thấy [tex](x;y;z)=(-1;-1;3)[/tex] và các hoán vị

 

[7 1 2 5]

Theo cái BDT ở trên thì [tex]x,y,z[/tex] hoặc [TEX]= -1[/TEX], hoặc [TEX]=3[/TEX]
Khi đó, dễ thấy [tex](x;y;z)=(-1;-1;3)[/tex] và các hoán vị

Vậy điều kiện x + y + z = 3 đâu rồi?

 

[Quân (Chắc Chắn Thế)]

Vậy điều kiện x + y + z = 3 đâu rồi?

Đề sai

Cầu Chúa cho biến [TEX]x,y,z[/TEX] không khác gì [TEX]X,Y,Z[/TEX]

Vì [tex]-1\leq x,y,z\leq 3 \\[/tex]
[tex]\Rightarrow (x-(-1))(x-3)\leq 0 \\ \Leftrightarrow x^2\leq ((-1)+3)x-(-1).3=2x+3[/tex]

[tex]\Rightarrow \sum x^2\leq 2(\sum x)+9=....[/tex]

See dòng cuối ?
Nếu [TEX]\sum x=3[/TEX] thì nghĩa là mình đánh giá chưa chặt
Nhưng cách đánh giá trên là 1 cách đánh giá khá chặt (thầy mình said that) nên khó có chuyện lệch nhiều vậy

*Đề phải là [TEX]\sum x=1[/TEX]

 

[7 1 2 5]

Đề sai



See dòng cuối ?
Nếu [TEX]\sum x=3[/TEX] thì nghĩa là mình đánh giá chưa chặt
Nhưng cách đánh giá trên là 1 cách đánh giá khá chặt (thầy mình said that) nên khó có chuyện lệch nhiều vậy

*Đề phải là [TEX]\sum x=1[/TEX]

Đề bài này hoàn toàn không sai nhé bạn. Nếu đánh giá chặt hay không chặt thì đầu tiên phải dựa vào điểm rơi. Điểm rơi bài này tại 2 biên và 1 biến ở giá trị trung gian. Cho nên nó chặt hơn khi điểm rơi tại biên ở cả 3 biến.

 

[7 1 2 5]

Đặt [tex](a,b,c)=(x+1,y+1,z+1)\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+b+c=6\\ a,b,c\in [0,4] \end{matrix}\right.[/tex]
Ta có: [tex]x^2+y^2+z^2=(a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2=(a^2+b^2+c^2)-2(a+b+c)+3=a^2+b^2+c^2-9[/tex]
Không mất tính tổng quát giả sử [tex]c=max\left \{ a,b,c \right \}\Rightarrow 3c\geq a+b+c=6\Rightarrow c\geq 2[/tex]
Ta có: [tex]a^2+b^2+c^2\leq a^2+b^2+2ab+c^2=(a+b)^2+c^2=(6-c)^2+c^2=2c^2-12c+36=(2c^2-12c+16)+20=2(c^2-6c+8)+20=2(c-2)(c-4)+20\leq 20\Rightarrow x^2+y^2+z^2=a^2+b^2+c^2-9\leq 20-9=11[/tex]
Dấu "=" ra tại (x,y,z)=(-1,1,3).