BPT logarit

[giabaotk123]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Giải giúp em mấy bài này với
1.
[TEX]\frac{1}{log_2\pi} + \frac{1}{log_5\pi} > 2[/TEX]
2.Cho a,b,c > 1, cm
[TEX](1+ \frac{1}{log_ablog_ac}) \sem log_ab \sem c \geq 4[/TEX]
3.CHo a,b,c > 2, cm
[TEX]log_{b+c}a^2 + log_{a+c}b^2 + log_{a+b}c^2 > 3[/TEX]

 

[truongduong9083]

Chào bạn


Câu 1. Ta có
$$\dfrac{1}{log_2^{\pi}}+\dfrac{1}{log_5^{\pi}} = log_{\pi}^2+log_{\pi}^5 = log_{\pi}^{10} >log_{\pi}^{(\pi)^2} = 2$$
Câu 2.
Đặt $$x =log_a^b; y = log_a^c $$
Bài toán trở thành. Chứng minh
$$(1+ \dfrac{1}{xy})(x+y) \geq 4$$
bài toán này cơ bản rồi nhé
Mà bài này như thiếu điều kiện hay sao ý

 

[jet_nguyen]

Giải giúp em mấy bài này với
1.$$\dfrac{1}{\log_2(\pi)} + \dfrac{1}{\log_5(\pi)}$$

Ta có: $$\log_ab=\dfrac{1}{\log_ba},\log_ab+\log_ac=\log_a(b.c)$$ Vậy:
$$\dfrac{1}{\log_2(\pi)} + \dfrac{1}{\log_5(\pi)}$$$$= \log_{\pi}2+\log_{\pi}5$$$$=\log_{\pi}10$$

 

[giabaotk123]

ặc. giờ tớ mới vô lớp 10 thì chưa biết làm!! đợi mấy tháng sau nha ^^!

ặc. Mới lớp 10 zô đây làm chi zây trời. LẠi còn cmt kêu k bik nữa chứ. Spam ak

 

[giabaotk123]

Câu 1. Ta có
$$\dfrac{1}{log_2^{\pi}}+\dfrac{1}{log_5^{\pi}} = log_{\pi}^2+log_{\pi}^5 = log_{\pi}^{10} >log_{\pi}^{(\pi)^2} = 2$$
Câu 2.
Đặt $$x =log_a^b; y = log_a^c $$
Bài toán trở thành. Chứng minh
$$(1+ \dfrac{1}{xy})(x+y) \geq 4$$
bài toán này cơ bản rồi nhé
Mà bài này như thiếu điều kiện hay sao ý

thanks, đã bổ sung đk
còn câu 3 giải giúp lun với

 

[jet_nguyen]

Gợi ý:
$\bullet$ BĐT đã cho tương đương với
$$\dfrac{{{{\log }_2}{a^2}}}{{{{\log }_2}(b + c)}} + \dfrac{{{{\log }_2}{b^2}}}{{{{\log }_2}(c + a)}} + \dfrac{{{{\log }_2}{c^2}}}{{{{\log }_2}(a + b)}} \ge 3(1)$$
Do $a,b,c>2$ nên $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} < 1 \Longrightarrow 0<a + b < ab$
$\bullet$ Vậy:
$$\dfrac{{{{\log }_2}{a^2}}}{{{{\log }_2}(b + c)}} + \dfrac{{{{\log }_2}{b^2}}}{{{{\log }_2}(c + a)}} + \dfrac{{{{\log }_2}{c^2}}}{{{{\log }_2}(a + b)}} >\dfrac{{2{{\log }_2}a}}{{{{\log }_2}bc}} + \dfrac{{2{{\log }_2}b}}{{{{\log }_2}ca}} + \dfrac{{2lo{g_2}c}}{{lo{g_2}ab}}$$$$ = 2\left( {\dfrac{x}{{y + z}} + \dfrac{z}{{x + y}} + \dfrac{y}{{x + y}}} \right) \ge 3(Nesbit)$$

 

[giabaotk123]

Gợi ý:
$\bullet$ BĐT đã cho tương đương với
$$\dfrac{{{{\log }_2}{a^2}}}{{{{\log }_2}(b + c)}} + \dfrac{{{{\log }_2}{b^2}}}{{{{\log }_2}(c + a)}} + \dfrac{{{{\log }_2}{c^2}}}{{{{\log }_2}(a + b)}} \ge 3(1)$$
Do $a,b,c>2$ nên $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} < 1 \Longrightarrow 0<a + b < ab$
$\bullet$ Vậy:
$$\dfrac{{{{\log }_2}{a^2}}}{{{{\log }_2}(b + c)}} + \dfrac{{{{\log }_2}{b^2}}}{{{{\log }_2}(c + a)}} + \dfrac{{{{\log }_2}{c^2}}}{{{{\log }_2}(a + b)}} >\dfrac{{2{{\log }_2}a}}{{{{\log }_2}bc}} + \dfrac{{2{{\log }_2}b}}{{{{\log }_2}ca}} + \dfrac{{2lo{g_2}c}}{{lo{g_2}ab}}$$$$ = 2\left( {\dfrac{x}{{y + z}} + \dfrac{z}{{x + y}} + \dfrac{y}{{x + y}}} \right) \ge 3(Nesbit)$$

Cảm ơn nha nhưng e thật sự không hiểu cách giải này.
Nesbit là gì vậy?
A có cách giải nào khác không chỉ em với.

 

[phamtanphuoc]

Cảm ơn nha nhưng e thật sự không hiểu cách giải này.
Nesbit là gì vậy?
A có cách giải nào khác không chỉ em với.

Mình nghĩ đây là cách giải hay nhất rồi đó bạn, mà BDT Nesbit rất thường dùng trong chứng minh BDT, bạn lên google tìm có rất nhiều cách chứng minh BDT này.

 

[vivietnam]

bất đẳng thức nesbit
với 3 số thực dương x,y,z
[TEX]\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\geq \frac{3}{2}[/TEX]
ta có [TEX]\frac{x}{y+z}+1=\frac{x+y+z}{y+z}[/TEX]
[TEX]\frac{y}{x+z}+1=\frac{x+y+z}{x+z}[/TEX]
[TEX]\frac{z}{y+x}+1=\frac{x+y+z}{y+x}[/TEX]
cộng 3 phương trình
[TEX]\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}+3=\frac{(x+y)+(y+z)+(z+x)}{2}.(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x})\geq\frac{9}{2}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow dpcm[/TEX]