[Box Toán 10] - chuyên đề lượng giác

noinhobinhyen · 13 Tháng mười một 2012

Kể từ hôm nay :

Đây sẽ là topic tổng hợp các thắc mắc cũng như các câu hỏi về phần giải pt lượng giác ,

các mem hãy tham gia và đóng góp và giải đáp những thắc mắc tại đây

noinhobinhyen · 13 Tháng mười một 2012

Đây là phần kiến thức cần nắm vững

I , Các hệ thức cơ bản :

1/ $sin^2x+cos^2x = 1$

2/ $tanx = \dfrac{sinx}{cosx}$

3/ $cotx = \dfrac{cosx}{sinx}$

4/ $\dfrac{1}{cos^2x} = 1+tan^2x$

5/ $\dfrac{1}{sin^2x} = 1+cot^2x$

6/ $tanx.cotx = 1$

II , Công thức cộng trừ:

1/ $sin(a+b)=sina.cosb+sinb.cosa$

2/ $sin(a-b)=sina.cosb-sinb.cosa$

3/ $cos(a+b)=cosa.cosb-sina.sinb$

4/ $cos(a-b)=cosa.cosb+sina.sinb$

5/ $tan(a+b)=\dfrac{tana+tanb}{1-tana.tanb}$

6/ $tan(a-b)=\dfrac{tana-tanb}{1+tana.tanb}$

7/ $cot(a+b)=\dfrac{cota.cotb-1}{cota+cotb}$

8/ $cot(a-b)=\dfrac{cota.cotb+1}{cota-cotb}$

III , Công thức góc nhân đôi

1/ $cos2a=cos^2a-sin^2a=2cos^2a-1=1-2sin^2a$

2/ $sin2a = 2sina.cosa$

3/ $tan2a = \dfrac{2tana}{1-tan^2a}$

4/ $cot2a = \dfrac{cot^2a-1}{2cota}$

IV , Công thức góc nhân ba

1/ $sin3a = 3sina-4sin^3a$

2/ $cos3a = 4cos^3a-3cosa$

3/ $tan3a = \dfrac{3tana-tan^3a}{1-3tan^3a}$

4/ $cot3a = \dfrac{cot^3a-3cota}{3cot^2-1}$

V , Công thức hạ bậc hai

1/ $sin^2a=\dfrac{1-cos2a}{2}=\dfrac{tan^2a}{1+tan^2a}$

2/ $cos^2a=\dfrac{1+cos2a}{2}=\dfrac{cot^2a}{1+cot^2a}$

3/ $tan^2a=\dfrac{1-cos2a}{1+cos2a}$

4/ $sina.cosa = \dfrac{1}{2}sin2a$

VI , Công thức biểu diễn sinx,cosx,tanx

Đặt $tan(\dfrac{x}{2})=t$

thì :

1/ $tanx=\dfrac{2t}{1-t^2}$

2/ $sinx=\dfrac{2t}{1+t^2}$

3/ $cosx=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}$

VII , Công thức biến đổi tổng thành tích thường gặp

1/ $cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa.cosb$

2/ $cos(a+b)-cos(a-b)=-2sina.sinb$

3/ $sin(a+b)+sin(a-b)=2sina.cosb$

4/ $sin(a+b)-sin(a-b)=2cosa.sinb$

noinhobinhyen · 13 Tháng mười một 2012

Các dạng phương trình cơ bản

I,Phương trình lượng giác cơ bản

II,Phương trình bậc hai

III,Phương trình bậc nhất theo sinx;cosx

IV,Phương trình đối xứng theo sinx và cosx

V,Phương trình đẳng cấp

VI,Phương trình chứa căn và chứa giá trị tuyệt đối

noinhobinhyen · 13 Tháng mười một 2012

Ví dụ đầu tiên

1.Giải phương trình lượng giác sau :

$sin^2x+3sinx.cosx+2cos^2x=0$

2.Hãy tính :

$sin15^o ; cos15^o$

3.Không dựa vào kết quả bài tập 2 , hãy tính :

$sin15^o+cos15^o$

Gợi ý :

Câu 1 có dạng phương trình đẳng cấp

Câu 2 : chú ý rằng $15=45-30 \Rightarrow sin15=sin(45-30)$

Câu 3 : dạng Phương trình bậc nhất theo sinx;cosx

lượng giác là một phần rất quan trọng trong các chương trình thi , các bạn cần nắm

vững từ bây giờ để sau này có thể cảm thấy thích thú khi học lượng giác.Nếu ko , các bạn sẽ

sợ hãi và ko thể học hành nên chuyện

mọi người cố gắng nhé !!!

huytrandinh · 13 Tháng mười một 2012

câu 1
[TEX]<=>(sinx+cosx)(sinx+2cosx)=0[/TEX]
[TEX]<=>sinx+cosx=0,sinx+2cosx=0[/TEX]
[TEX].sinx+cosx=0<=>sin(x+\frac{\pi }{4})=0[/TEX]
[TEX]<=>x=-\frac{\pi }{4}+k\pi [/TEX]
[TEX].sinx+2cosx=0[/TEX]
[TEX]<=>tanx=-2=>x=arctan(-2)+k\pi [/TEX]
câu 2 ta có thể tính theo cách đã gợi ý nhưng cũng có thể tính theo cách sau
[TEX]cos30=1-2sin^{2}15[/TEX]
[TEX]<=>2sin^{2}15=1-cos30=\frac{2-\sqrt{3}}{2}[/TEX]
[TEX].sin15> 0=>sin15=\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}[/TEX]
[TEX].cos30=2cos^{2}15-1[/TEX]
[TEX]<=>2cos^{2}15=cos30+1=\frac{2+\sqrt{3}}{2}[/TEX]
[TEX]cos15> 0=>cos15=\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}[/TEX]
câu 3
[TEX]sin15+cos15=\sqrt{2}(sin45.cos15+sin15.cos45)[/TEX]
[TEX]=\sqrt{2}sin(15+45)=\sqrt{2}sin60=\frac{\sqrt{6}}{2}[/TEX]

noinhobinhyen · 14 Tháng mười một 2012

Kiến thức bổ sung :

1.Hai góc đối nhau

2.Hai góc bù nhau

3.Hai góc phụ nhau

4.Hai góc hơn kém nhau $\pi$ và $\dfrac{\pi}{2}$

noinhobinhyen · 14 Tháng mười một 2012

Bài tập vận dụng

Tính các giá trị sau :

$A_1 = cos75.cos15$

$A_2 = \dfrac{1}{sin10} - 4sin70$

$A_3 = \dfrac{1}{cos290}+\dfrac{1}{\sqrt[]{3}.sin70}$

$A_4 = sin^250+sin^270-cos50.cos70$

$A_5 = sin1+sin91+2.sin203(sin112+sin158)$

các bài này ko khó nếu các bạn biết vận dụng linh hoạt các điều đã học.

huytrandinh · 14 Tháng mười một 2012

[TEX]A_{1}=cos75.cos15=sin15.cos15=\frac{1}{2}sin30=\frac{1}{4}[/TEX]
[TEX]A_{2}=\frac{1}{sin10}-4sin70=\frac{1-4sin70.sin10}{sin10}[/TEX]
[TEX]=\frac{1+2(cos80-cos60)}{sin10}=\frac{2cos80}{sin10}=2[/TEX]
[TEX]A_{3}=\frac{1}{cos290}+\frac{1}{\sqrt{3}sin70}[/TEX]
[TEX]=\frac{\sqrt{3}sin70+cos290}{\sqrt{3}sin70.cos290}[/TEX]
[TEX]=\frac{\sqrt{3}sin70+cos70}{\sqrt{3}sin70.cos290}[/TEX]
[TEX]=\frac{2.sin(70+30)}{\sqrt{3}sin70.cos70}[/TEX]
[TEX]=\frac{4sin80}{\sqrt{3}sin40}=\frac{8sin40.cos40}{\sqrt{3}sin40}[/TEX]
[TEX]=\frac{8cos40}{\sqrt{3}}[/TEX]
[TEX]A_{4}=sin^{2}50+sin^{2}70-cos50.cos70[/TEX]
[TEX]=\frac{1-cos100}{2}+\frac{1-cos140}{2}-cos50.cos70[/TEX]
[TEX]=1+\frac{1}{2}(cos80+cos40-2cos50.cos70)[/TEX]
[TEX]=1+\frac{1}{2}(cos80+cos40-cos120-cos20)[/TEX]
[TEX]=\frac{5}{4}+\frac{1}{2}(cos80-cos20+cos40)[/TEX]
[TEX]=\frac{5}{4}+\frac{1}{2}(-2sin30.cos40+cos40)=\frac{5}{4}[/TEX]
[TEX]A_{5}=sin1+sin91+2sin203.sin112+2sin203.sin158[/TEX]
[TEX]=sin1+sin91+cos91-cos315+cos45-cos361[/TEX]
[TEX]=sin1+sin91+cos91-cos45+cos45-cos1[/TEX]
[TEX]=sin1+cos1-sin1-cos1=0[/TEX]

vuhoang_97 · 15 Tháng mười một 2012

Bài tập 1.

GPT :

$sinx+sin2x+sin3x=cosx+cos2x+cos3x$

huytrandinh · 15 Tháng mười một 2012

[TEX]<=>sin(x-\frac{\pi }{4})+sin(2x-\frac{\pi }{4})+sin(3x-\frac{\pi }{4})=0[/TEX]
[TEX]<=>2sin(2x-\frac{\pi }{4}).cosx+sin(2x-\frac{\pi }{4})=0[/TEX]
[TEX]<=>sin(2x-\frac{\pi }{4})=0,2cosx+1=0[/TEX]
pt cơ bản

mavuongkhongnha · 15 Tháng mười một 2012

sinx + sin2x + sin3x = cosx + cos2x + cos3x

<=> sinx+sin3x + + sin2x =cosx+cos3x + cos2x

<=>2sin2xcosx + sin2x = 2cos2xcosx + cos2x

<=>sinx(2cosx + 1) = cosx(2cosx + 1)

<=>(sinx - cosx)(2cosx + 1) = 0

dễ rồi

các em mới học lớp 10 ( trừ những đúa học chuyên ) nên chú ý đến dạng chứng minh và

tính toán chứ không phải giải pt lượng giác

cho em vài bài tham khảo nhé :

dạng 1 : tính toán

[TEX]a, A =cos85^0 +cos35^0 -cos25^0[/TEX]

[TEX]b, B=cos(\frac{\pi}{9})+cos(\frac{5\pi}{9})+cos(\frac{7\pi}{9})[/TEX]

[TEX]c, C=cos(\frac{2\pi}{5}) +cos(\frac{4\pi}{5})+cos(\frac{6\pi}{5})+cos(\frac{8\pi}{5})[/TEX]

[TEX]D=sin10^0.sin30^0.sin50^0.sin70^0[/TEX]

[TEX]E=sin20^0.sin40^0.sin^0.sin80^0[/TEX]

[TEX]M=cos(\frac{\pi}{11})+cos(\frac{3\pi}{11})+cos(\frac{5\pi}{11})+cos(\frac{7\pi}{11})+cos(\frac{9\pi}{11})[/TEX]

dạng 2 : chứng minh

[TEX]1.cos(\frac{\pi}{32})=\frac{1}{2}(\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}})[/TEX]

2.cho A,B,C là các góc trong tam giác , chứng minh:

[TEX]a,cos^2A+cos^2B+cos^2C=1-2cosA.cosB.cosC[/TEX]

[TEX]b, b.cosB+c.cosC=a.cos(B-C)[/TEX]

[TEX]c, r=4.R.sin(\frac{A}{2}).sin(\frac{B}{2}).sin(\frac{C}{2})[/TEX]

dạng 3 : nhận dạng tam giác

thử 1 bài thôi nhé :

tam giác ABC có tính chất gì nếu :

[TEX]a.tanB+b.tanA=(a+b).tan\frac{a+b}{2}[/TEX]

noinhobinhyen · 16 Tháng mười một 2012

Mọi người nhào zô nhé !!

Bài 1.a

$A=cos85^o+cos35^o-cos25^o$

$=cos(60^o+25^o)+cos(60^o-25^o)-cos25^o$

$=2cos60^o.cos25^o-cos25^o=0$

cấu b+c làm tương tự nha

Tính $D=sin10^o.sin30^o.sin50^o.sin70^o$

mọi người , ai chứng minh cho mình cái công thức này nhé :

$sin\alpha.sin(60^o-\alpha).sin(60^o+\alpha)=sin3\alpha$

keysuccess1996 · 16 Tháng mười một 2012

giải hộ tớ pt :
1. Sinx + Sin3x + Sin4x= Cosx + Cos3x + Cos4x
2.Cosx-Cos2x+Cos3x=1/2
3.(Cos3x)^2 + 0,25.(Cosx)^2 = Cos3x.(Cosx)^2
4.(1+Cosx)(1+Cos2x)(1+Cos3x)=1/2
5. 3 - 4(Sin2x)^2 = 2Cos2x + Sin4x

giúp mình mấy pt nữa nhé!

1.Sinx.Sin2x.Sin3x=4/5
2.Sinx + 2Sin2x =3 + Sin3x
3.9(Sinx)^2 - 15Sin2x + 25(Cos2x)^2 = 25
4.4Cosx - 2Cos2x - Cos4x = 0

Xin lỗi nhưng mình vừa mới biết tới học mãi nên chưa biết cách gõ như các bạn

mình đang học nhưng khóc hiểu quá

noinhobinhyen · 16 Tháng mười một 2012

$cosx-cos2x+cos3x=\dfrac{1}{2}$

Ta có $cosx+cos3x=cos(2x-x)+cos(2x+x)=2cos2x.cosx$

đpcm : $\Leftrightarrow 2cos2x.cosx-cos2x=\dfrac{1}{2}$

$\Leftrightarrow cos2x(2cosx-1)=\dfrac{1}{2}$

$\Leftrightarrow (2cos^2x-1)(2cosx-1)=\dfrac{1}{2}$

$\Leftrightarrow 4cos^3x-2cos^2x-2cosx+1=\dfrac{1}{2}$

$\Leftrightarrow 4cos^3x-2cos^2x-2cosx+\dfrac{1}{2} = 0$

Đặt $cosx=t$

$\Rightarrow 4t^3-2t^2-2t+\dfrac{1}{2}=0$

$\Leftrightarrow 8t^3-4t^2-4t+1=0$

Xét hàm số $y=F{(x)}=8t^3-4t^2-4t+1$

Ta có $F_{(1)}=1 > 0$

$F_{(0,8)}=-0,664 < 0$

$F_{(0,1)}=0,568 > 0$

$F_{(-0,7)}=-0,904 < 0$

Chứng tỏ là đồ thị hàm số này có 3 lần giao Ox

hay nói cách khác là hàm số này có 3 nghiệm thuộc $(-0,7;1)$

Gọi 3 nghiệm của hàm số này là $t_1;t_2;t_3$

Vì $t_1;t_2;t_3 \in (-0,7;1) \Rightarrow \exists \alpha ; \beta ; \gamma $ thoả mãn

$t_1=cos\alpha ; t_2=cos\beta ; t_3=cos\gamma$

Vậy là xong rồi nhé .

anhtraj_no1 · 17 Tháng mười một 2012

Câu 2 đó các em nên nhân cả 2 vế với $cos\dfrac{x}{2}$ nhé

nghiệm sẽ ra rất đẹp là $Cos\dfrac{7x}{2} = 0$

Phương trình lượng giác rất cơ bản , không nên phức tạp nó quá

noinhobinhyen · 17 Tháng mười một 2012

anhtraj_no1 said:
Câu 2 đó các em nên nhân cả 2 vế với $cos\dfrac{x}{2}$ nhé

nghiệm sẽ ra rất đẹp là $Cos\dfrac{7x}{2} = 0$

Phương trình lượng giác rất cơ bản , không nên phức tạp nó quá

anh xem lại chứ , sao lại nhân 2 vế với $cos\dfrac{\pi}{2}=0$

nghiệm $cos\dfrac{7\pi}{2}$ ko thỏa mãn đâu

minhtuyb · 19 Tháng mười một 2012

keysuccess1996 said:
giải hộ tớ pt :

$3.\ \ \ (\cos 3x)^2 + 0,25.(\cos x)^2 = \cos 3x.(\cos x)^2$

keysuccess1996 said:

Nhớ học cách xài $\LaTeX$ nhé bạn ^_^
---
Áp dụng BĐT trung bình cộng, trung bình nhân:
$$LHS\ge 2\sqrt{ (\cos 3x)^2. 0,25.(\cos x)^2} = |\cos 3x|.|\cos x|\ge \cos 3x.(\cos x)^2=RHS$$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: $\left\{\begin{matrix}|\cos 3x|=|\dfrac{\cos x}{2}|\\ |\cos 3x|=\cos 3x\\ |\cos x|=(\cos x)^2\end{matrix}\right.$
...

noinhobinhyen said:
mọi người , ai chứng minh cho mình cái công thức này nhé :

noinhobinhyen said:
$4sin\alpha.sin(60^o-\alpha).sin(60^o+\alpha)=sin3\alpha$

$$VT= \left[\sin(60^o-\alpha).\sin(60^o+\alpha) \right].\sin \alpha\\ =-\dfrac{1}{2}(\cos 120^o - \cos 2\alpha).\sin \alpha\\ =\dfrac{1}{2}\sin \alpha.\left(\dfrac{3}{2}-2\sin^2 \alpha \right)\\ =\dfrac{3\sin \alpha-4\sin^3 \alpha}{4}= \dfrac{\sin 3\alpha}{4}$$
Đề thiếu số $4$ nhé

---
C/m tương tự ta cũng thu được :

$$4\cos \alpha.\cos(60^o-\alpha).\cos(60^o+\alpha)=\cos3\alpha$$
$$\tan\alpha.\tan(60^o-\alpha).\tan(60^o+\alpha)=\tan3\alpha$$

minhtuyb · 19 Tháng mười một 2012

Thêm mấy bài

:

Bài 1: CMR:
$1.\ \ \tan 30^o+\tan 40^o+\tan 50^o+\tan 60^o=\dfrac{8}{\sqrt{3}}.\cos 20^o\\2.\ \ \tan 50^o+\tan 60^o+\tan 70^o=\tan 80^o$

Bài 2: Tính:
$1. A=\sum\limits_{k=1}^{n} \sin kx$
$2. B=\sum\limits_{k=1}^{n} \cos kx$
$3. C=\sum\limits_{k=1}^{2012} \tan k.\tan (k+1)$

Bài 3: CMR $\sin 1^o$ là số vô tỉ.

minhtuyb · 19 Tháng mười một 2012

mavuongkhongnha said:
dạng 1 : tính toán

[TEX]b, B=cos(\frac{\pi}{9})+cos(\frac{5\pi}{9})+cos(\frac{7\pi}{9})[/TEX]

[TEX]c, C=cos(\frac{2\pi}{5}) +cos(\frac{4\pi}{5})+cos(\frac{6\pi}{5})+cos(\frac{8\pi}{5})[/TEX]

[TEX]D=sin10^0.sin30^0.sin50^0.sin70^0[/TEX]

[TEX]E=sin20^0.sin40^0.sin^0.sin80^0[/TEX]

[TEX]M=cos(\frac{\pi}{11})+cos(\frac{3\pi}{11})+cos(\frac{5\pi}{11})+cos(\frac{7\pi}{11})+cos(\frac{9\pi}{11})[/TEX]

Em nghĩ câu $b$ anh thiếu $\cos \dfrac{3\pi}{9}$.
Các biểu thức có dạng như $B,C,M$ ta có cách làm như sau:
* Đối với $\sin$: Nhân cả biểu thức với $\sin (\text{khoảng cách/2})$ hay $\cos (\text{khoảng cách/2})$ đều được.
* Đối với $\cos$ : Nhân cả biểu thức với $\sin (\text{khoảng cách/2})$
Mục đích của việc nhân trên là ta áp dụng hai hằng đẳng thức:
$$2\cos a.\sin b= \sin(a+b)-\sin(a-b)$$
$$2\sin a.\sin b= -[\cos(a+b)-\cos(a-b)]$$
Để triệt tiêu các phần tử giống nhau. Mình sẽ làm mẫu một câu, các câu khác tương tự

---

Câu c:

[TEX]c, C=cos(\frac{2\pi}{5}) +cos(\frac{4\pi}{5})+cos(\frac{6\pi}{5})+cos(\frac{8\pi}{5})[/TEX]

Ta nhận thấy khoảng các giữa các đối số là $\dfrac{2\pi}{5}$ nên ta nhân biểu thức với $2\sin \dfrac{\pi}{5}$:
Xét biểu thức:
$$2\sin \dfrac{\pi}{5}.C=2\sin \dfrac{\pi}{5}.cos\frac{2\pi}{5} +2\sin \dfrac{\pi}{5}.cos\frac{4\pi}{5}+2\sin \dfrac{\pi}{5}.cos\frac{6\pi}{5}+2\sin \dfrac{\pi}{5}.cos\frac{8\pi}{5}\\ = (\sin \dfrac{3\pi}{5}-\sin \dfrac{\pi}{5})+(\sin \dfrac{5\pi}{5}-\sin \dfrac{3\pi}{5})+(\sin \dfrac{7\pi}{5}-\sin \dfrac{5\pi}{5})+(\sin \dfrac{9\pi}{5}-\sin \dfrac{7\pi}{5})\\ =\sin\dfrac{9\pi}{5}-\sin\dfrac{\pi}{5}\\=2.\cos \pi.\sin \dfrac{4\pi}{5}\\ =-2.\sin \dfrac{\pi}{5}\\ \Rightarrow C=-1$$
---
Các bạn làm thử mấy câu còn lại để luyện tập nhé!

Không biết anh mavuongkhongnha có kinh nghiệm gì trong việc c/m các đẳng thức trong tam giác không nhỉ, em chỉ biết làm trâu thôi

P/s: $D,E$ thì áp dụng cái công thức mình c/m ở #21

hthtb22 · 19 Tháng mười một 2012

minhtuyb said:
Bài 3: CMR $\sin 1^o$ là số vô tỉ.

Giả sử $sin1^{0}$ là số hữu tỉ
Áp dụng công thức:
$sin 3\alpha=3sin \alpha -4sin^3 \alpha$.
Ta có:
$\Rightarrow sin3^{o} = 3sin1^{o}-4sin^{3}1^{o}$ là số hữu tỉ
$\Rightarrow sin9^{o} = 3sin3^{o}-4sin^{3}3^{o}$ là số hữu tỉ
$\Rightarrow sin27^{o} = 3sin9^{o}-4sin^{3}9^{o}$ là số hữu tỉ
$\Rightarrow sin81^{o} = 3sin27^{o}-4sin^{3}27^{o}$ là số hữu tỉ
$\Rightarrow cos9^{o}$ là số hữu tỉ
$\Rightarrow sin18^{o}=2sin9^{o}cos9^{o}$ là số hữu tỉ (1)
mà $\Rightarrow sin18^{o}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$ là số vô tỉ (2)
Ta thấy (1) và (2) mâu thuẫn. Vậy $sin1^{o}$ là số vô tỷ

=================
Học kém nhất lượng giác

Tìm kiếm

Tìm kiếm

[Box Toán 10] - chuyên đề lượng giác

noinhobinhyen

noinhobinhyen

noinhobinhyen

noinhobinhyen

huytrandinh

noinhobinhyen

noinhobinhyen

huytrandinh

vuhoang_97

huytrandinh

mavuongkhongnha

noinhobinhyen

keysuccess1996

noinhobinhyen

anhtraj_no1

noinhobinhyen

minhtuyb

minhtuyb

minhtuyb

hthtb22