Toán Bồi dưỡng HSG toán 9:

[ailatrieuphu]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1)Tính x: [TEX]x=\sqrt{5+\sqrt{13+\sqrt{5+\sqrt{13....}}}[/TEX] Trong đó các dấu chấm là lặp đi lặp lại cách viết vô hạn tuần hoàn.
2)Rút gọn: [TEX]D=\sqrt{1+1999^2+\frac{1999^2}{2000}}+\frac{1999}{2000}[/TEX]
3)Chứng minh:
a)[TEX]A=\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}=9[/TEX]
b)[TEX]B=\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}>10[/TEX]
c)[TEX]C=\frac{1}{\sqrt{1.199}}+\frac{1}{\sqrt{2.198}}+...+\frac{1}{\sqrt{199.1}}>1,99[/TEX]
d)[TEX]D=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}<2[/TEX] (n dấu căn)
e)[TEX]E=\frac{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}}{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}}>\frac{1}{4}[/TEX] (Tử n dấu căn, mẫu n-1 dấu căn)
f)[TEX]F=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{1+2}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2+3}+\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{3+4}+...+\frac{\sqrt{25}-\sqrt{24}}{24+25}<\frac{2}{5}[/TEX]

 

[manh550]

$A$=$\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}$
Ta có:
$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}-\sqrt{1}$
$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}-\sqrt{2}$
:
:
:

$\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}$=$\sqrt{100}-\sqrt{99}$

\Rightarrow $A$=$\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{100}-\sqrt{99}$
=$-\sqrt{1}+\sqrt{100}$=$\sqrt{100}-\sqrt{1}$=$9$

 

[iceghost]

$1)x=\sqrt{5+\sqrt{13+\sqrt{5+\sqrt{13....}}}}\\
\implies x^2=5+\sqrt{13+\sqrt{5+\sqrt{13....}}} \\
\implies x^2-5=\sqrt{13+\sqrt{5+\sqrt{13....}}} \\
\implies (x^2-5)^2=13+\sqrt{5+\sqrt{13....}}=13+x \\
\implies x^4-10x^2+25-13-x=0 \\
\iff x^4-9x^2-x^2+9-x+3=0 \\
\iff x^2(x^2-9)-(x^2-9)-(x-3)=0 \\
\iff x^2(x-3)(x+3)-(x-3)(x+3)-(x-3)=0 \\
\iff (x-3)[x^2(x+3)-(x+3)-1]=0 \\
\iff (x-3)[(x+3)(x^2-1)-1]=0 \\
\iff (x-3)[(x+3)(x-1)(x+1)-1]=0 \\
\implies \left[ \begin{array}{l} x-3=0 \\
(x+3)(x-1)(x+1)-1=0 \end{array} \right.$
Ta thấy $x>\sqrt5 > 2$
$\implies$ $x+3 > 5 \\
x-1>1 \\
x+1>3$
$\implies (x+3)(x-1)(x+1)-1 > 14 > 0 \\
\implies x-3=0 \iff x= 3$

 

[prince123lam@gmail.com]

B=11+12+...+1100&gt;10" role="presentation" style="display: inline-block; line-height: 0; font-size: 18.04px; word-wrap: normal; white-space: nowrap; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; border: 0px; margin: 0px; padding: 1px 0px; font-family: 'Open Sans', arial, helvetica, clean, sans-serif; position: relative;">B=1√1+1√2+...+1√100>10B=11+12+...+1100>10

Ta có : 1/căn(1) > 1/căn(100)
1/căn(2) > 1/căn(100)
1/căn(3) > 1/căn(100)
...
1/căn(99) > 1/căn(100)
Cộng lại, ta được :
1/căn(1) + 1/căn(2) + 1/căn(3) + ... + 1/căn(100) > 100/căn(100) = 10