Toán 10 bổ đề ERIQ

[_Error404_]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho ABC ngoại tiếp (I) và nội tiếp (O). (I) tiếp xúc BC tại D. E là điểm trên (O) sao cho AD,AE liên hợp đẳng giác trong BAC. K,L là hình chiếu E lên IB,IC. Chứng minh trung điểm KL thuộc trung trực BC

 

[7 1 2 5]

(Ý tưởng lời giải: Phạm Gia Hưng - THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp - Quảng Bình)
Gọi $J, S,Q$ lần lượt là tâm bàng tiếp góc $A$ và điểm chính giữa cung $BC$ lớn, nhỏ của $(O)$. $U,V$ lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ $S$ lên $BI, CI$. Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm $BC, UV, KL$.
Ta thấy $\Delta ABD \sim \Delta AEC$ nên $AB \cdot AC=AE \cdot AD$
$\Delta ABI \sim \Delta AJC \Rightarrow AB \cdot AC=AI \cdot AJ$
$\Rightarrow AI \cdot AJ = AE \cdot AD \Rightarrow \Delta ADI \sim \Delta AJE \Rightarrow \widehat{ADI}=\widehat{AJE}$
(nếu như em học nghịch đảo đối xứng thì qua phép nghịch đảo đối xứng $\mathcal{I}$ có trục $AI$ và phương tích $AB \cdot AC$, $I \leftrightarrow J$ và $D \leftrightarrow E$ nên $\widehat{ADI}=\widehat{AJE}$)
Ta lại có $=\widehat{AJE}=\widehat{ADI}=90^o-\widehat{ADB}=90^o-(\widehat{DAC}+\widehat{C})=90^o-\widehat{EAB}-\widehat{C}=\dfrac{1}{2}(\text{sđSQ-sđEB-sđAB})=\dfrac{1}{2}(\text{sđAS-sđEQ})$ nên $S,J,E$ thẳng hàng.
Từ đó theo định lý Thales ta có $\dfrac{KB}{KU}=\dfrac{EJ}{ES}=\dfrac{CL}{LV}$. Áp dụng bổ đề ERIQ ta có $M,N,P$ thẳng hàng.
Bây giờ ta chỉ cần chứng minh $N$ thuộc trung trực $BC$.
Lần lượt gọi $I_a,I_b,I_c$ là tâm đường tròn bàng tiếp góc $A,B,C$ của tam giác $ABC$.
Dễ thấy $(O)$ là đường tròn Euler của tam giác $I_aI_bI_c$ nên $S$ là trung điểm của $I_bI_c$.
Từ đó $SI_b=SI_c=SB$ nên $U$ là trung điểm $BI_b$. Từ đó $UM$ là đường trung bình tam giác $BI_bC$ nên $UM \parallel CI_b$ hay $UM \perp CI$.
Suy ra $UM \parallel SV$. Tương tự $SU \parallel VM$ nên $SUVM$ là hình bình hành, suy ra $S,N,M$ thẳng hàng hay ta có điều phải chứng minh.

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^ Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé

Bài giảng Trường hè học sinh - giáo viên trường THPT chuyên 2022​