Vật lí Bổ đề Benzout và ứng dụng vào giao thoa ánh sáng

Rau muống xào

Mod Vật lí
Cu li diễn đàn
10 Tháng tám 2021
2,230
2,404
351
18
Nghệ An
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Hêy, xin chào tất cả các bạn, lại là mình đây , hôm nay mình sẽ tiếp tục gửi đến các bạn một số bài tập hay, topic này sẽ giúp các bạn giải quyết một lớp bài toán đặc trưng cho dạng này ,dạng đó là dạng gì thì mời các bạn đọc tiếp.
Trong toán học có một kết quả rất hay trong số học, đó là bổ đề Benzout được phát biểu như sau:
Cho [imath]2[/imath] số nguyên [imath]a,b[/imath] .Gọi [imath]d[/imath] là ước số chung lớn nhất của [imath]a[/imath] và [imath]b[/imath] thì tồn tại bộ số nguyên [imath](x,y)[/imath] thoả mãn tính chất: [imath]ax+by=d[/imath]
VD: [imath]a=5,b=3 \to d=1 \to[/imath] bộ số [imath](x,y)[/imath] có thể là [imath](-1,2);...[/imath]

Vì tính không thiết yếu nên chúng ta chỉ cần biết mà không cần chứng minh bổ đề này, nếu bạn nào có tính tò mò thì có thể tham khảo thêm trên mạng nhé.Thời đại công nghệ thì trên mạng bây giờ gì cũng có mà <::W:W

Vậy nó có ứng dụng như thế nào vào bài toán giao thoa ánh sáng của vật lý.
Ta đi đến với ví dụ bài tập sau:


Trong thí nghiệm I-âng về giao thoa ánh sáng, khoảng cách giữa hai khe là a = 1mm, từ hai khe đến màn hứng là D = 2m, nguồn sáng gồm hai bức xạ đơn sắc [imath]\lambda_1=0,5μ m[/imath] và [imath]\lambda2=0,3μm[/imath] ,nếu hai vân sáng của hai bức xạ trùng nhau ta chỉ tính là một vân sáng. Khoảng nhỏ nhất giữa hai vân sáng liên tiếp trên màn là:

Tổng quát:
Xét [imath]\frac{i_1}{i_2}=\frac{\lambda_2}{\lambda_1}=\frac{m}{n}[/imath]( m,n nguyên tối giản)
K/c giữa 2 vân sáng là : [imath]L=|k_1i_1-k_2i_2|[/imath] [imath](k_1,k_2[/imath] nguyên )
[imath]\Rightarrow L=\frac{i_1}{m}|k_1m-k_2.\frac{i_2}{i_1}.n|=\frac{i_1}{m}.|k_1m-k_2n|[/imath]
Vì m,n là tối giản nên ước chung lớn nhất là 1,theo bổ đề BenZout ta luôn tìm dc bộ số [imath](k_1,k_2)[/imath]
để: [imath]|k_1m-k_2n|=1 \Rightarrow L_{min}=\frac{i_1}{m}=\frac{i_2}{n}[/imath]
Tóm lại các bạn cũng chỉ cần nhớ công thức này mà thôi, các chứng minh ,kết luận, công thức là tính ở nhà, vào phòng thi chỉ cần áp dung <::):)

Áp dụng vào bài toán trên có : [imath]\frac{i_1}{i_2}=\frac{1}{0,6}=\frac{5}{3}[/imath]
Ở đây [imath]m=5 và n=3 \Rightarrow L_{min}=\frac{i_1}{m}=\frac{i_2}{n}=0,2 mm[/imath]

Sau đây là một số bài nâng cao để áp dụng nhé:

Bài 1:Trong thí nghiệm I-âng về giao thoa ánh sáng, khoảng cách 2 khe là a=1mm, từ hai khe đến màn hứng là D=1m, nguồn sáng gồm 2 bức xạ đơn sắc [imath]\lambda_1=0,7\mu m[/imath] và [imath]\lambda_2=0,4\mu m[/imath] nếu hai vân sáng của hai bức xạ trùng nhau ta chỉ tính là một vân sáng. Khoảng nhỏ nhất giữa hai vân sáng liên tiếp trên màn không thể đạt giá trị nào sau đây:
A.0,05 mm
B.0,1 mm
C.0,2 mm
D.0,3 mm

Bài 2: Trong thí nghiệm Y-âng về giao thoa ánh sáng, hai khe được chiếu bằng ánh sáng gồm hai bức xạ đơn sắc [imath]\lambda _1=0,615\mu m[/imath] và [imath]\lambda_2(0,396\mu m<\lambda_2,0,465 \mu m)[/imath].Trên màn quan sát, gọi a và b là khoảng cách lớn nhất và khoảng cách nhỏ nhất giữa hai vân sáng liên tiếp. Biết a= 7b. Giá trị [imath]\lambda_2[/imath] gần nhất với giá trị nào sau đây:
[imath]A.0,405\mu m[/imath]
[imath]B.0,430 \mu m[/imath]
[imath]C.0,450\mu m[/imath]
[imath]D.0,435\mu m[/imath]
gợi ý câu này: k/c max sẽ là [imath]i_{min}[/imath] ,tự chứng minh bằng cách vẽ vân nhé!
 
Last edited:

Rau muống xào

Mod Vật lí
Cu li diễn đàn
10 Tháng tám 2021
2,230
2,404
351
18
Nghệ An
Puồn vì ko ai làm, vẫn chữa cho ai sau thấy được thêm vậy!!:(
Bài 1:
[imath]i_1=0,7(mm),i_2=0,4(mm)[/imath]
xét: [imath]\frac{i_1}{i_2}=\frac{0,7}{0,4}=\frac{7}{4}[/imath]
[imath]\Rightarrow L_{min}=\frac{i_1}{7}=\frac{i_2}{4}=0,1(mm)[/imath]
[imath]L_{min}[/imath] [imath]\Rightarrow[/imath] chọn A, câu hỏi đặt ra là sao chắc chắn các đáp án khác tồn tại nghiệm thoả mãn.Yên tâm chắc chắn thoả vì anh vẽ ra mà lị.:cool::cool:

---------------------------------------------------------------------------------------------------

Bài 2:

Do [imath]\lambda_2<\lambda_1\Rightarrow i_2<i_1[/imath]
Bằng cách vẽ hình ta có thể dễ dàng nhận thấy: [imath]i_{max} =min(i_1,i_2)=i_2\Rightarrow a=i_2[/imath]
Đặt: [imath]\frac{i_1}{i_2}=\frac{\lambda_1}{\lambda_2}=\frac{m}{n}[/imath] (m,n tối giản)
[imath]\Rightarrow 1,322<\frac{m}{n}<1,556[/imath]​
[imath]\Rightarrow L_{min}=b=\frac{i_2}{n}[/imath] (1)​
Đề cho: [imath]a=7b\Rightarrow i_2=7.\frac{i_2}{n}\Rightarrow n=7[/imath]
Dựa vào (1)[imath]=>9,25<m<10,892 \Rightarrow m=10[/imath]
[imath]\Rightarrow \lambda_2=\frac{7}{10}\lambda_1=0,4305[/imath]​

o_Oo_Oo_O
Bài 1:
Tiến hành thí nghiệm Young về giao thoa ánh sáng với đồng thời hai bức xạ đơn sắc khác nhau có bước sóng nằm trong khoảng từ 400 nm đến 750 nm. Biết khoảng cách ngắn nhất giữa hai vạch sáng có màu giống vân sáng trung tâm lớn gấp 91 lần khoảng cách ngắn nhất giữa hai vạch sáng liên tiếp nhau trên màn. Tổng số vạch đơn sắc trong khoảng giữa hai vạch liên tiếp nhau có màu giống vân sáng trung tâm là
A. 18. B. 19. C. 20. D. 21.

Giải

Giả sử [imath]i_1<i_2[/imath] và [imath]\frac{i_1}{i_2}=\frac{m}{n}[/imath](m,n tối giản)
[imath]L_{min}=\frac{i_2}{n}[/imath]
K/c giữa 2 vân sáng cùng màu với vân sáng trung tâm là : [imath]d=ni_1=mi_2[/imath]
Bài ra ta có: [imath]d=91L_{min}[/imath]
[imath]\Rightarrow m.n=91[/imath]​
[imath]\Rightarrow[/imath] cặp nghiệm(m,n) thoả mãn duy nhất là: [imath]m=13,n=7[/imath]
[imath]\Rightarrow[/imath] Vậy trong một khoảng vẫn trùng có 12 vận đơn sắc của [imath]\lambda_1[/imath] và 6 vẫn đơn sắc của [imath]\lambda_2[/imath].
-------------------------------------------------------
Bài 2:

Trong thi nghiêm về giao thoa ánh sáng khe Y-oung ta xem bề rộng của vùng giao thoa đủ lớn. Khi dùng đồng thời hai ánh sáng đơn sắc có bước sóng lần lượt là [imath]\lambda_1 = 0,40\mu m, \lambda_2 = 0,50 \mu m[/imath] thì khoảng cách giữa 2 vân sáng liên tiếp có màu của vân trung tâm trên màn là 2mm. Nếu chiếu thêm ánh sáng có bước sóng [imath]\lambda_3 = 0,76 \mu m[/imath] thì khoảng cách nhỏ nhất giữa 2 vân sáng liên tiếp trên màn lúc này là bao nhiêu?
A. 10 μm B. 40 μm C. 20 μm. D. 25 μm

Giải
Ban đầu ta có: [imath]\frac{\lambda_2}{\lambda_1}=\frac{5}{4}[/imath]
[imath]\Rightarrow i_T=4i_2=5i_1\Rightarrow i_1=0,4(mm),i_2=0,5(mm)[/imath]
Thêm [imath]\lambda_3[/imath] vào với [imath]i_3=0,76(mm)[/imath]
Xét:
[imath]\left\{\begin{matrix} \frac{i_1}{i_2}=\frac{4}{5}\Rightarrow \Delta x_{12}=100(\mu m)\\ \frac{i_3}{i_1}=\frac{19}{10}\Rightarrow \Delta x_{31}=40(\mu m)\\ \frac{i_3}{i_2}=\frac{38}{25}\Rightarrow \Delta x_{32}=20(\mu m) \end{matrix}\right.[/imath]
[imath]\Rightarrow C[/imath]​
 
Last edited:

superchemist

Học sinh chăm học
Thành viên
28 Tháng năm 2021
315
324
66
17
Kiên Giang
Hêy, xin chào tất cả các bạn, lại là mình đây , hôm nay mình sẽ tiếp tục gửi đến các bạn một số bài tập hay, topic này sẽ giúp các bạn giải quyết một lớp bài toán đặc trưng cho dạng này ,dạng đó là dạng gì thì mời các bạn đọc tiếp.
Trong toán học có một kết quả rất hay trong số học, đó là bổ đề Benzout được phát biểu như sau:
Cho 2 số nguyên a,b .Gọi d là ước số chung lớn nhất của a và b thì tồn tại bộ số nguyên (x,y) thoả mãn tính chất: ax+by=d
VD: a=5,b=3 =>d=1 => bộ số (x,y) có thể là (-1,2);...

Vì tính không thiết yếu nên chúng ta chỉ cần biết mà không cần chứng minh bổ đề này, nếu bạn nào có tính tò mò thì có thể tham khảo thêm trên mạng nhé.Thời đại công nghệ thì trên mạng bây giờ gì cũng có mà <::W:W

Vậy nó có ứng dụng như thế nào vào bài toán giao thoa ánh sáng của vật lý.
Ta đi đến với ví dụ bài tập sau:


Trong thí nghiệm I-âng về giao thoa ánh sáng, khoảng cách giữa hai khe là a = 1mm, từ hai khe đến màn hứng là D = 2m, nguồn sáng gồm hai bức xạ đơn sắc $\lambda_1=0,5μ m$ và $\lambda2=0,3μm$ ,nếu hai vân sáng của hai bức xạ trùng nhau ta chỉ tính là một vân sáng. Khoảng nhỏ nhất giữa hai vân sáng liên tiếp trên màn là:
[TBODY] [/TBODY]
Tổng quát:
Xét $\frac{i_1}{i_2}=\frac{\lambda_2}{\lambda_1}=\frac{m}{n}$( m,n nguyên tối giản)
K/c giữa 2 vân sáng là : $L=|k_1i_1-k_2i_2| $ $(k_1,k_2 $ nguyên )
=>$L=\frac{i_1}{m}|k_1m-k_2.\frac{i_2}{i_1}.n|=\frac{i_1}{m}.|k_1m-k_2n|$

Vì m,n là tối giản nên ước chung lớn nhất là 1,theo bổ đề BenZout ta luôn tìm dc bộ số $(k_1,k_2)$ để:
$|k_1m-k_2n|=1$

$=> L_{min}=\frac{i_1}{m}=\frac{i_2}{n}$






Tóm lại các bạn cũng chỉ cần nhớ công thức này mà thôi, các chứng minh ,kết luận, công thức là tính ở nhà, vào phòng thi chỉ cần áp dung <::):)
Áp dụng vào bài toán trên : có $\frac{i_1}{i_2}=\frac{1}{0,6}=\frac{5}{3}$
Ở đây m=5 và n=3=> $L_{min}=\frac{i_1}{m}=\frac{i_2}{n}=0,2 mm$
[TBODY] [/TBODY]







Sau đây là một số bài nâng cao để áp dụng nhé:

Bài 1:Trong thí nghiệm I-âng về giao thoa ánh sáng, khoảng cách 2 khe là a=1mm, từ hai khe đến màn hứng là D=1m, nguồn sáng gồm 2 bức xạ đơn sắc $\lambda_1=0,7\mu m$ và $\lambda_2=0,4\mu m$ nếu hai vân sáng của hai bức xạ trùng nhau ta chỉ tính là một vân sáng. Khoảng nhỏ nhất giữa hai vân sáng liên tiếp trên màn không thể đạt giá trị nào sau đây:
A.0,05 mm
B.0,1 mm
C.0,2 mm
D.0,3 mm

Bài 2: Trong thí nghiệm Y-âng về giao thoa ánh sáng, hai khe được chiếu bằng ánh sáng gồm hai bức xạ đơn sắc $\lambda _1=0,615\mu m$ và $\lambda_2(0,396\mu m<\lambda_2,0,465 \mu m)$.Trên màn quan sát, gọi a và b là khoảng cách lớn nhất và khoảng cách nhỏ nhất giữa hai vân sáng liên tiếp. Biết a= 7b. Giá trị $\lambda_2$ gần nhất với giá trị nào sau đây:
$A.0,405\mu m$
$B.0,430 \mu m$
$C.0,450\mu m$
$D.0,435\mu m$
gợi ý câu này: k/c max sẽ là $i_{min}$ ,tự chứng minh bằng cách vẽ vân nhé!
Những câu như này tầm mấy điểm trong kì thi THPT QG vậy anh ?
 
  • Like
Reactions: Rau muống xào
Top Bottom