Toán 12 Biến đổi nâng cao hàm mũ, logarit

Thảo luận trong 'HS lũy thừa, mũ và lôgarit' bắt đầu bởi Sweetdream2202, 30 Tháng mười hai 2019.

Lượt xem: 40

  1. Sweetdream2202

    Sweetdream2202 Cố vấn Toán Cố vấn chuyên môn

    Bài viết:
    1,587
    Điểm thành tích:
    216
    Nơi ở:
    TP Hồ Chí Minh
    Trường học/Cơ quan:
    Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP Hồ Chí Minh
    Sở hữu bí kíp ĐỖ ĐẠI HỌC ít nhất 24đ - Đặt chỗ ngay!

    Đọc sách & cùng chia sẻ cảm nhận về sách số 2


    Chào bạn mới. Bạn hãy đăng nhập và hỗ trợ thành viên môn học bạn học tốt. Cộng đồng sẽ hỗ trợ bạn CHÂN THÀNH khi bạn cần trợ giúp. Đừng chỉ nghĩ cho riêng mình. Hãy cho đi để cuộc sống này ý nghĩa hơn bạn nhé. Yêu thương!

    bài toán yêu cần học sinh cần vận dụng thành thạo các kiến thức liên quan đến logarit, mũ để biến đổi biểu thức. ngoài ra cần nắm một số bất đẳng thức để xử lí trong một vài trường hợp.

    xét các ví dụ sau:

    ví dụ 1: cho 3 số thực x, y, z thỏa mãn [tex]log(x+y)=z[/tex], [tex]log(x^2+y^2)=z+1[/tex] và [tex]x^3+y^3=a.10^{3z}+b.10^{2z}[/tex]. tính giá trị [tex]S=a+b[/tex]

    giải:
    [tex]log(x+y)=x<=>x+y=10^z[/tex]
    và [tex]log(x^2+y^2)=z+1<=>x^2+y^2=10^{z+1}[/tex]
    ta có: [tex]x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)[/tex]
    để tìm được a,b ta cần biểu diễn [tex]xy[/tex] theo [tex]z[/tex].
    ta lại có: [tex]xy=\frac{(x+y)^2-(x^2+y^2)}{2}=\frac{10^{2z}-10^{z+1}}{2}[/tex]
    thế vào biểu thức ban đầu, ta được:
    [tex]x^3+y^3=10^{3z}-3.\frac{10^{2z}10^{z+1}}{2}.10^z=-\frac{1}{2}.10^{3z}+15.10^{2z}[/tex]
    vậy ta tìm được [tex]a=-\frac{1}{2};b=15[/tex]

    ví dụ 2: cho [tex]a, b,c >1[/tex] thỏa mãn [tex]log_abc+log_bac+4log_cab=10[/tex], tính giá trị biểu thức [tex]S=log_ab+log_bc+log_ca[/tex]

    giải:
    áp dụng tính chất của hàm logarit [tex]log_axy=log_ax+log_ay[/tex], ta có:
    [tex]10=log_ab+log_ac+log_bc+log_ba+4(log_ca+log_cb)[/tex]
    [tex]<=>10=(log_ab+log_ba)+(log_bc+4log_cb)+(log_ac+4log_ca)[/tex]
    [tex]<=>10\geq 2\sqrt{log_ab.log_ba)}+2\sqrt{log_bc.4log_cb}+2\sqrt{log_ac.4log_ca}=2+4+4=10[/tex]
    do đó, dấu bằng của bất đẳng thức xả ra.
    khi đó:
    [tex]\left\{\begin{matrix} log_ab=log_ba\\ log_ac=4log_ca\\ log_bc=4log_cb \end{matrix}\right.=>\left\{\begin{matrix} log_ab=log_ba=1\\ log_ca=\frac{1}{2}\\ log_bc=2 \end{matrix}\right.[/tex]
    vậy, [tex]S=\frac{7}{2}[/tex]

    ví dụ 3: biết 2 số thực [tex]a,b>0[/tex] thõa mãn [tex]log_{2a+2b+1}(4a^2+b^2+1)+log_{4ab+1}(2a+2b+1)=2[/tex]. tìm a và b.

    giải:
    [tex]lg_ab=\frac{lnb}{lna}[/tex]
    giả thiết tương đương: [tex]\frac{ln(4a^2+b^2+1)}{ln(2a+2b+1)}+\frac{ln(2a+2b+1)}{ln(4ab+1)}=2[/tex]
    theo bất đẳng thức AM-GM, ta có: [tex]2=\frac{ln(4a^2+b^2+1)}{ln(2a+2b+1)}+\frac{ln(2a+2b+1)}{ln(4ab+1)}\geq 2\sqrt{\frac{ln(4a^2+b^2+1)}{ln(2a+2b+1)}\frac{ln(2a+2b+1)}{ln(4ab+1)}}=2\sqrt{\frac{ln(4a^2b^2+1)}{ln(4ab+1)}}[/tex]
    <=> [tex]ln(4ab+1)\geq ln(4a^2+b^2+1)<=>4ab+1\geq 4a^2+b^2+1<=>(2a-b)^2\leq 0=>2a=b[/tex]
    dấu bằng AM-GM xảy ra khi:
    [tex]ln(8a^2+1)=ln(6a+1)<=>8a^2+1=6a+1=>a=\frac{3}{4}=>b=\frac{3}{2}[/tex]
     
    Hoàng Vũ Nghị thích bài này.
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY

-->