- 24 Tháng mười 2018
- 1,616
- 1,346
- 216
- 24
- TP Hồ Chí Minh
- Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP Hồ Chí Minh
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
bài toán yêu cần học sinh cần vận dụng thành thạo các kiến thức liên quan đến logarit, mũ để biến đổi biểu thức. ngoài ra cần nắm một số bất đẳng thức để xử lí trong một vài trường hợp.
xét các ví dụ sau:
ví dụ 1: cho 3 số thực x, y, z thỏa mãn [tex]log(x+y)=z[/tex], [tex]log(x^2+y^2)=z+1[/tex] và [tex]x^3+y^3=a.10^{3z}+b.10^{2z}[/tex]. tính giá trị [tex]S=a+b[/tex]
giải:
[tex]log(x+y)=x<=>x+y=10^z[/tex]
và [tex]log(x^2+y^2)=z+1<=>x^2+y^2=10^{z+1}[/tex]
ta có: [tex]x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)[/tex]
để tìm được a,b ta cần biểu diễn [tex]xy[/tex] theo [tex]z[/tex].
ta lại có: [tex]xy=\frac{(x+y)^2-(x^2+y^2)}{2}=\frac{10^{2z}-10^{z+1}}{2}[/tex]
thế vào biểu thức ban đầu, ta được:
[tex]x^3+y^3=10^{3z}-3.\frac{10^{2z}10^{z+1}}{2}.10^z=-\frac{1}{2}.10^{3z}+15.10^{2z}[/tex]
vậy ta tìm được [tex]a=-\frac{1}{2};b=15[/tex]
ví dụ 2: cho [tex]a, b,c >1[/tex] thỏa mãn [tex]log_abc+log_bac+4log_cab=10[/tex], tính giá trị biểu thức [tex]S=log_ab+log_bc+log_ca[/tex]
giải:
áp dụng tính chất của hàm logarit [tex]log_axy=log_ax+log_ay[/tex], ta có:
[tex]10=log_ab+log_ac+log_bc+log_ba+4(log_ca+log_cb)[/tex]
[tex]<=>10=(log_ab+log_ba)+(log_bc+4log_cb)+(log_ac+4log_ca)[/tex]
[tex]<=>10\geq 2\sqrt{log_ab.log_ba)}+2\sqrt{log_bc.4log_cb}+2\sqrt{log_ac.4log_ca}=2+4+4=10[/tex]
do đó, dấu bằng của bất đẳng thức xả ra.
khi đó:
[tex]\left\{\begin{matrix} log_ab=log_ba\\ log_ac=4log_ca\\ log_bc=4log_cb \end{matrix}\right.=>\left\{\begin{matrix} log_ab=log_ba=1\\ log_ca=\frac{1}{2}\\ log_bc=2 \end{matrix}\right.[/tex]
vậy, [tex]S=\frac{7}{2}[/tex]
ví dụ 3: biết 2 số thực [tex]a,b>0[/tex] thõa mãn [tex]log_{2a+2b+1}(4a^2+b^2+1)+log_{4ab+1}(2a+2b+1)=2[/tex]. tìm a và b.
giải:
[tex]lg_ab=\frac{lnb}{lna}[/tex]
giả thiết tương đương: [tex]\frac{ln(4a^2+b^2+1)}{ln(2a+2b+1)}+\frac{ln(2a+2b+1)}{ln(4ab+1)}=2[/tex]
theo bất đẳng thức AM-GM, ta có: [tex]2=\frac{ln(4a^2+b^2+1)}{ln(2a+2b+1)}+\frac{ln(2a+2b+1)}{ln(4ab+1)}\geq 2\sqrt{\frac{ln(4a^2+b^2+1)}{ln(2a+2b+1)}\frac{ln(2a+2b+1)}{ln(4ab+1)}}=2\sqrt{\frac{ln(4a^2b^2+1)}{ln(4ab+1)}}[/tex]
<=> [tex]ln(4ab+1)\geq ln(4a^2+b^2+1)<=>4ab+1\geq 4a^2+b^2+1<=>(2a-b)^2\leq 0=>2a=b[/tex]
dấu bằng AM-GM xảy ra khi:
[tex]ln(8a^2+1)=ln(6a+1)<=>8a^2+1=6a+1=>a=\frac{3}{4}=>b=\frac{3}{2}[/tex]
xét các ví dụ sau:
ví dụ 1: cho 3 số thực x, y, z thỏa mãn [tex]log(x+y)=z[/tex], [tex]log(x^2+y^2)=z+1[/tex] và [tex]x^3+y^3=a.10^{3z}+b.10^{2z}[/tex]. tính giá trị [tex]S=a+b[/tex]
giải:
[tex]log(x+y)=x<=>x+y=10^z[/tex]
và [tex]log(x^2+y^2)=z+1<=>x^2+y^2=10^{z+1}[/tex]
ta có: [tex]x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)[/tex]
để tìm được a,b ta cần biểu diễn [tex]xy[/tex] theo [tex]z[/tex].
ta lại có: [tex]xy=\frac{(x+y)^2-(x^2+y^2)}{2}=\frac{10^{2z}-10^{z+1}}{2}[/tex]
thế vào biểu thức ban đầu, ta được:
[tex]x^3+y^3=10^{3z}-3.\frac{10^{2z}10^{z+1}}{2}.10^z=-\frac{1}{2}.10^{3z}+15.10^{2z}[/tex]
vậy ta tìm được [tex]a=-\frac{1}{2};b=15[/tex]
ví dụ 2: cho [tex]a, b,c >1[/tex] thỏa mãn [tex]log_abc+log_bac+4log_cab=10[/tex], tính giá trị biểu thức [tex]S=log_ab+log_bc+log_ca[/tex]
giải:
áp dụng tính chất của hàm logarit [tex]log_axy=log_ax+log_ay[/tex], ta có:
[tex]10=log_ab+log_ac+log_bc+log_ba+4(log_ca+log_cb)[/tex]
[tex]<=>10=(log_ab+log_ba)+(log_bc+4log_cb)+(log_ac+4log_ca)[/tex]
[tex]<=>10\geq 2\sqrt{log_ab.log_ba)}+2\sqrt{log_bc.4log_cb}+2\sqrt{log_ac.4log_ca}=2+4+4=10[/tex]
do đó, dấu bằng của bất đẳng thức xả ra.
khi đó:
[tex]\left\{\begin{matrix} log_ab=log_ba\\ log_ac=4log_ca\\ log_bc=4log_cb \end{matrix}\right.=>\left\{\begin{matrix} log_ab=log_ba=1\\ log_ca=\frac{1}{2}\\ log_bc=2 \end{matrix}\right.[/tex]
vậy, [tex]S=\frac{7}{2}[/tex]
ví dụ 3: biết 2 số thực [tex]a,b>0[/tex] thõa mãn [tex]log_{2a+2b+1}(4a^2+b^2+1)+log_{4ab+1}(2a+2b+1)=2[/tex]. tìm a và b.
giải:
[tex]lg_ab=\frac{lnb}{lna}[/tex]
giả thiết tương đương: [tex]\frac{ln(4a^2+b^2+1)}{ln(2a+2b+1)}+\frac{ln(2a+2b+1)}{ln(4ab+1)}=2[/tex]
theo bất đẳng thức AM-GM, ta có: [tex]2=\frac{ln(4a^2+b^2+1)}{ln(2a+2b+1)}+\frac{ln(2a+2b+1)}{ln(4ab+1)}\geq 2\sqrt{\frac{ln(4a^2+b^2+1)}{ln(2a+2b+1)}\frac{ln(2a+2b+1)}{ln(4ab+1)}}=2\sqrt{\frac{ln(4a^2b^2+1)}{ln(4ab+1)}}[/tex]
<=> [tex]ln(4ab+1)\geq ln(4a^2+b^2+1)<=>4ab+1\geq 4a^2+b^2+1<=>(2a-b)^2\leq 0=>2a=b[/tex]
dấu bằng AM-GM xảy ra khi:
[tex]ln(8a^2+1)=ln(6a+1)<=>8a^2+1=6a+1=>a=\frac{3}{4}=>b=\frac{3}{2}[/tex]
