Bdt

[quyenuy0241]

mình vừa sửa lại rồi mà
bạn học tính chất 3 cạnh trong tam giác chưa vâyh
a+b >c
b+c >a
c+a >b
mà mình lấy đề do cô giáo mình in cho )

Sửa như thế vẫn sai bạn ạ:
a=3,b=4,c=5 lần này thì [tex]OK[/tex]
Đề chính gốc phải thế này không bạn!!!!!!!
[tex]x^2+y^2+z^2 < 2(xy+yz+zx)[/tex]

 

[kira_l]

mà ta có vai trò của x,y,z,t là như nhau sao bạn lại có 2 số = 1/2 và 2 số = -1/2

Cậu này kém ớn.
Vì gt bài toán là [tex]x+y+z+t=0 [/tex] [tex]and[/tex] [tex]x^2+y^2+z^2+t^2=1[/tex]

 

[rua_it]

[tex]\left\{ \begin{array}{l} x,y > 0 \\ x+y=1 \end{array} \right.[/tex]

min P=[tex]\frac{x}{\sqrt{1-x}}[/tex] + [tex]\frac{y}{\sqrt{1-y}}[/tex]

[tex]P=\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{x}} \geq_{AM-GM} \sqrt{x}+\sqrt{y}[/tex]

[tex]x+y=1 \rightarrow \frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{x}}=\frac{1-y}{\sqrt{y}}+\frac{1-x}{\sqrt{x}}[/tex]

[tex]=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}-\sqrt{x}-\sqrt{y} \geq \frac{1}{2}.[\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}] \geq \frac{1}{\sqrt[4]{xy}} \geq \frac{1}{\sqrt{\frac{x+y}{2}}} \geq \sqrt{2}[/tex]

Vậy

[tex]\min_{x,y \in\ (0;+\infty)}P=\sqrt{2}[/tex]

 

[quyenuy0241]

[tex]\frac{x}{\sqrt{1-x}}+\frac{y}{\sqrt{1-y}}=\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{x}} \geq_{AM-GM} \sqrt{x}+\sqrt{y}[/tex]

[tex](gt) \rightarrow \frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{x}}=\frac{1-y}{\sqrt{y}}+\frac{1-x}{\sqrt{x}}[/tex]

[tex]=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}-\sqrt{x}-\sqrt{y} \geq \frac{1}{2}.[\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}] \geq \frac{1}{\sqrt[4]{xy}} \geq \frac{1}{\sqrt{\frac{x+y}{2}}} \geq \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}}} \geq \sqrt{2}[/tex]

Vậy

[tex]\min_{x,y \in\ (0;+\infty)}P=\sqrt{2}[/tex]

Mình có cách khác lè :
[tex]\frac{1}{\sqrt{2}}.\sqrt{1-x} \le \frac{1}{2}(\frac{1}{2}+y)[/tex]
Suy ra[tex] P \ge\sum {\sqrt{2}.\frac{x}{\frac{1}{2}+y}} \ge {\sqrt{2}.\frac{(x+y)^2}{\frac{1}{2}(x+y)+2xy}} \geq\sqrt{2}[/tex] do[tex]xy \le \frac{1}{4}[/tex]
[tex]OK[/tex]

 

[rua_it]

10/
[tex]x,y,z >0 \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}=4[/tex]

CMR
[tex]\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{2y+z+x}+\frac{1}{2z+y+x} \leq 1[/tex]
trời sửa mãi ko đc mai mình pót tiếp vậy 11 h rồi

[tex]\frac{1}{2x+y+z} \leq \frac{\frac{1}{4}}{x+y}+\frac{\frac{1}{4}}{x+z}[/tex]

[tex]\leq \frac{\frac{1}{16}}{x}+\frac{\frac{1}{16}}{z}+ \frac{\frac{1}{16}}{y}+\frac{\frac{1}{16}}{x} \leq \frac{1}{16}.(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})[/tex]

Xây dựng bài toán tương tự, cộng theo vế, ta được:

[tex]\sum_{cyc} \frac{1}{2x+y+z} \leq \frac{1}{16}.(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})+\frac{1}{16}.(\frac{2}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x})+\frac{1}{16}.(\frac{2}{z}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}) = \frac{1}{4}.(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}) \leq 1[/tex]

Đẳng thức xảy ra [tex] \leftrightarrow x=y=z=\frac{3}{4}[/tex]

 

[quyenuy0241]

[tex]\frac{1}{2x+y+z} \leq \frac{\frac{1}{4}}{x+y}+\frac{\frac{1}{4}}{x+z}[/tex]

[tex]\leq \frac{\frac{1}{16}}{x}+\frac{\frac{1}{16}}{z}+ \frac{\frac{1}{16}}{y}+\frac{\frac{1}{16}}{x} \leq \frac{1}{16}.(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})[/tex]

Xây dựng bài toán tương tự, cộng theo vế, ta được:

[tex]\sum_{cyc} \frac{1}{2x+y+z} \leq \frac{1}{16}.(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})+\frac{1}{16}.(\frac{2}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x})+\frac{1}{16}.(\frac{2}{z}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}) = \frac{1}{4}.(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}) \leq 1[/tex]

Đẳng thức xảy ra [tex] \leftrightarrow x=y=z=\frac{3}{4}[/tex]

Theo mình thì áp dụng luôn 4 số cho ngắn :
[tex](x+y+z+x)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+ \frac{1}{x}) \ge 16 [/tex]
suy ra [tex]\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{2}{x} \le \frac{16}{2x+y+z}[/tex]
Các BDT khác tương tự [tex]OK[/tex]

 

[quyenuy0241]

tiếp nè
9/
a,b,c,d >0
CMR [tex]\frac{a^2}{b^5}[/tex]+[tex]\frac{b^2}{c^5}[/tex]+[tex]\frac{c^2}{d^5}[/tex]+[tex]\frac{d^2}{a^5}[/tex] \geq [tex]\frac{1}{a^3}[/tex]+[tex]\frac{1}{b^3}[/tex]+[tex]\frac{1}{c^3}[/tex]+[tex]\frac{1}{d^3}[/tex]

[tex]\frac{a^2}{b^5}+\frac{a^2}{b^5}+\frac{a^2}{b^5}+ \frac{1}{a^3}+\frac{1}{a^3} \ge 5.\sqrt[5]{\frac{1}{b^{15}}}=\frac{5}{b^3}[/tex]
Các BDT khác tương tự:
[tex]OK [/tex]

 

[quyenuy0241]

tiếp nè
8/
CMR nếu a,b,c là 3 cạnh 1 tam giác có chu vi là 3
thì [TEX]3a^2+3b^2+3c^2+4abc \geq 13[/TEX]

có [tex]a+b+c=3[/tex]
Cần CM [tex]3(a+b+c)^2+4abc \ge 6(ab+ac+bc)+13[/tex]
Hay [tex]7+2abc \ge 3(ab+ac+bc)(1)[/tex]
Do a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác nên:
[tex](a+b-c)(a+c-b)(b+c-a) \le abc \Leftrightarrow (3-2a)(3-2b)(3-2a) \le abc \le 1[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 27-18(a+b+c)+12(ab+bc+ac)-8abc \le 1 [/tex]
Chuyển vế rút gọn :
Suy ra DPCM [tex]7+2abc \ge 3(ab+ac+bc)[/tex]
Nên (1) được CM
[tex]OK[/tex]

 

[sot40doc]

[tex] \rightarrow (u+1)^2.[(u+1)-3] \leq (v+1)^3+3.(v-1)^2[/tex]:-SS

[tex] \rightarrow (u+1)^3-3.(u+1)^2 \leq (v-1)^3+3.(v-1)^2[/tex]:-SS

[tex]Dat: x=u+1[/tex] [tex]and[/tex] [tex]y=u-1[/tex] :-SS

[tex] \rightarrow x^3-3.x^2 \leq y^3+3.y^2[/tex]

[tex] \rightarrow x^3-y^3 \leq 3.(x^2+y^2)(*)[/tex]

bạn xem lại chỗ mình đánh dấu :-SS dòng trên có [TEX](v +1)^3[/TEX]
dòng dưới có [TEX](v - 1)^3[/TEX]
[tex]Dat: x=u+1[/tex] [tex]and[/tex] [tex]y=u-1[/tex] dòng này toàn nói về u chứ có nói gì về v đâu b-(

 

[rua_it]

bạn xem lại chỗ mình đánh dấu :-SS dòng trên có [TEX](v +1)^3[/TEX]
dòng dưới có [TEX](v - 1)^3[/TEX]
[tex]Dat: x=u+1[/tex] [tex]and[/tex] [tex]y=u-1[/tex] dòng này toàn nói về u chứ có nói gì về v đâu

[tex]u^3-3u \leq v^3-3v+4[/tex]

[tex]\rightarrow (u-2).(u+1)^2 \leq (v+2).(v-1)^2[/tex]

[tex]\rightarrow (u+1)^3-3.(u+1)^2 \leq (v-1)^3+3.(v-1)^2[/tex]

[tex]Dat: \left{\begin{x=u+1}\\{y=v-1}[/tex]

[tex]\rightarrow x^3-y^3 \leq 3.(x^2+y^2)[/tex]

[tex]x-y=u-v+2 \leq 2 \rightarrow x^3-y^3=(x-y).(x^2+xy+y^2) \leq 2.(x^2+xy+y^2)[/tex]
[tex] \leq_{AM-GM} 3(x^2+y^2) \Rightarrow x^3-y^3 \leq 3.(x^2+y^2)[/tex]

Vậy ta cóa dpcm.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi [tex]\left{\begin{u=-1}\\{v=1}[/tex]

Được chưa.