Toán 9 BĐT

[_Error404_]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Cho [tex]a,b,c>0[/tex]. CMR: [tex]S=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\sqrt[3]{\frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}}\geq 2[/tex]
Bài 2: Cho [tex]\left\{\begin{matrix} a,b,c>0\\ ab+bc+ca=3abc \end{matrix}\right.[/tex]. Tìm GTLN của [tex]P=\frac{1}{2a^2+b^2}+\frac{1}{2b^2+c^2}+\frac{1}{2c^2+a^2}[/tex]
Bài 3: Cho [tex]\left\{\begin{matrix} a+b+c=1\\ a,b,c>0 \end{matrix}\right.[/tex]. Tìm GTNN của [tex]Q=14(a^2+b^2+c^2)+\frac{ab+bc+ca}{a^2b+b^2c+c^2a}[/tex]

 

[7 1 2 5]

1. Đặt [tex](x,y,z)=(\frac{a}{b+c},\frac{b}{c+a},\frac{c}{a+b})\Rightarrow \frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}=1;xy+yz+zx+2xyz=1[/tex]
Khi đó áp dụng BĐT Bunyakovsky ta có:
[tex](\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1})[x(x+1)+y(y+1)+z(z+1)]\geq(x+y+z)^2\Rightarrow x^2+y^2+z^2+(x+y+z)\geq x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx) \Rightarrow x+y+z \geq 2(xy+yz+zx)[/tex]
Ta cần chứng minh [TEX]x+y+z+\sqrt[3]{xyz} \geq 2[/TEX]
Ta sẽ chứng minh [TEX]2(xy+yz+zx)+\sqrt[3]{xyz} \geq 2 \Leftrightarrow 2-4xyz+\sqrt[3]{xyz} \geq 2 \Leftrightarrow \sqrt[3]{xyz} \geq 4xyz \Leftrightarrow xyz \leq \frac{1}{8}[/TEX](đúng do [TEX]xyz=\frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a) \leq \frac{abc}{2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}}=\frac{1}{8}[/TEX]
2. Đặt [TEX](x,y,z)=(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}) \Rightarrow x+y+z=1[/TEX]
Ta có: [tex]\frac{1}{2a^2+b^2}= \frac{1}{(a^2+b^2)+a^2} \leq \frac{1}{2ab+b^2} \leq \frac{1}{9}(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{b^2})=\frac{1}{9}(2xy+y^2)[/tex]
Tương tự cộng vế theo vế ta có: [tex]P \leq \frac{1}{9}(x+y+z)^2=\frac{1}{9}[/tex]
3. Bạn tham khảo đây: https://diendan.hocmai.vn/threads/tim-gtnn-a-f-14-a-2-b-2-c-2-dfrac-ab-bc-ca-a-2b-b-2c-c-2a.311642/

 

[_Error404_]

3. Bạn tham khảo đây: https://diendan.hocmai.vn/threads/tim-gtnn-a-f-14-a-2-b-2-c-2-dfrac-ab-bc-ca-a-2b-b-2c-c-2a.311642/

Câu 2 nhờ anh giải thích chi tiết phần cuối giúp em với ạ [tex]F \geq 14t+\frac{1}{2t^2}-\frac{1}{2t}\geq ...[/tex]

 

[7 1 2 5]

Câu 2 nhờ anh giải thích chi tiết phần cuối giúp em với ạ [tex]F \geq 14t+\frac{1}{2t^2}-\frac{1}{2t}\geq ...[/tex]

Đoạn đó em quy đồng rồi biến đổi tương đương để chứng minh [tex]14t+\frac{1}{2t^2}-\frac{1}{2t}\geq \frac{23}{3}[/tex]