Toán 9 BĐT

[_Error404_]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c > 0. CMR [tex](\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})^2\geq \frac{3}{2}(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b})[/tex]

 

[kido2006]

Cho a,b,c > 0. CMR [tex](\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})^2\geq \frac{3}{2}(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b})[/tex]

BĐT [tex]\Leftrightarrow 2\sum \frac{a^2}{b^2}+\sum \frac{b}{a}\geq 3\sum \frac{a}{b}[/tex] (điều này phá ngoặc rồi rút gọn thôi)
Ta có [tex]\frac{a^2}{b^2}+\frac{a^2}{b^2}+\frac{b}{a}\geq ^{AM-GM}3\frac{a}{b}[/tex]
Chứng minh tương tự rồi cộng vế ta có điều phải chứng minh

 

[Darkness Evolution]

Cho a,b,c > 0. CMR [tex](\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})^2\geq \frac{3}{2}(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b})[/tex]

Đặt $\frac{a}{b}=x;\frac{b}{c}=y;\frac{c}{a}=z$ thì $xyz=1$
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với $(x+y+z)^ 2\ge \frac{3}{2}(x+y+z+xy+yz+zx)$
Ta có $x+y+z \ge 3\sqrt[3]{xyz}=3$(AM-GM)
$\Rightarrow (x+y+z)^2 \ge 3(x+y+z)$
Dễ thấy, $(x+y+z)^2 \ge 3(xy+yz+zx)$
Suy ra $2 (x+y+z)^ 2\ge 3(x+y+z+xy+yz+zx)$
$\Rightarrow (x+y+z)^ 2\ge \frac{3}{2}(x+y+z+xy+yz+zx)$
Dấu $"="$ xảy ra khi $x=y=z=1 \Leftrightarrow a=b=c$