Toán 9 BĐT

[DABE Kawasaki]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho các số thực a,b,c,d không âm t/m ab+bc+cd+da=1.C/m rằng:
[tex]\frac{a^3}{b+c+d}+\frac{b^3}{c+d+a}+\frac{c^3}{b+a+d}+\frac{d^3}{a+b+c}\geq \frac{1}{3}[/tex]

 

[7 1 2 5]

[tex]\frac{a^3}{b+c+d}+\frac{b+c+d}{18}+\frac{1}{12}\geq \frac{a}{2}[/tex]
Tương tự cộng vế theo vế.

 

[TranPhuong27]

Cách khác:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

[tex]\sum \frac{a^3}{b+c+d}=\sum \frac{a^4}{ab+ca+da} \geq \frac{(a^2+b^2+c^2+d^2)^2}{2(ab+bc+ca+ad+db+dc)}[/tex] [tex]\sum \frac{a^3}{b+c+d}=\sum \frac{a^4}{ab+ca+da} \geq \frac{(a^2+b^2+c^2+d^2)^2}{2(ab+bc+ca+ad+db+dc)}[/tex] (*)

Áp dụng BĐT AM-GM dạng [tex]2xy \leq x^2+y^2[/tex]:

[tex]2(ab+bc+ca+ad+db+cd) \leq 3(a^2+b^2+c^2+d^2)[/tex]

[tex]a^2+b^2+c^2+d^2 \geq \frac{2ab+2bc+2ca+2ad}{2}=ab+bc+cd+da=1[/tex]

[tex](*) \geq \frac{(a^2+b^2+c^2+d^2)^2}{3(a^2+b^2+c^2+d^2)}=\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{3} \geq \frac{1}{3}[/tex]

Dấu "=" xảy ra tại [tex]a=b=c=d=\frac{1}{2}[/tex]