Toán 8 BĐT

[Love You At First Sight]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a, b, c >0. Chứng minh rằng: [tex]\frac{(a+b)^2}{ab}+\frac{(b+c)^2}{bc}+\frac{(c+a)^2}{ca}\geq 9+2(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})[/tex]

 

[tfs-akiranyoko]

[tex]\frac{(a+b)^2}{ab}+\frac{(b+c)^2}{bc}+\frac{(c+a)^2}{ca}=\frac{a^2+b^2+2ab}{ab}+\frac{c^2+b^2+2cb}{cb}+\frac{a^2+c^2+2ac}{ac}=6+\frac{a^2+b^2}{ab}+\frac{c^2+b^2}{cb}+\frac{a^2+c^2}{ac}=6+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{a}{c}=6+a.(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+b.(\frac{1}{a}+\frac{1}{c})+c.(\frac{1}{b}+\frac{1}{a})\geq 6+\frac{4a}{b+c}+\frac{4b}{c+a}+\frac{4c}{a+b}=6+2(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})+2(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})\\\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}(Nesbitt)\\\rightarrow 6+2(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})+2(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})\\\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq 6+2.\frac{3}{2}+2(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})=9+2(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})[/tex]