Toán bđt

[vuongthanh6a]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho a,b,c là các số dương t/m a+b+c=3 chứng minh rằng
$$\frac{a}{\sqrt{b+1}} + \frac{b}{\sqrt{c+1}} + \frac{c}{\sqrt{a+1}} \geq \frac{3\sqrt{2}}{2}$$

 

[Tony Time]

cho a,b,c là các số dương t/m a+b+c=3 chứng minh rằng
$$\frac{a}{\sqrt{b+1}} + \frac{b}{\sqrt{c+1}} + \frac{c}{\sqrt{a+1}} \geq \frac{3\sqrt{2}}{2}$$

Làm bài cuối xong off diễn đàn một tg nào :v
Áp dụng bđt.......(tên dài quá) ta có:
$$\frac{a}{\sqrt{b+1}}+\frac{b}{\sqrt{c+1}}+\frac{c}{\sqrt{a+1}}=\frac{a^2}{a\sqrt{b+1}}+\frac{b^2}{b\sqrt{c+1}}+\frac{c^2}{c\sqrt{a+1}}\geq \frac{(a+b+c)^2}{a\sqrt{b+1}+b\sqrt{c+1}+c\sqrt{a+1}}$$
Mà:
$$a\sqrt{b+1}+b\sqrt{c+1}+c\sqrt{a+1}\leq \sqrt{(a+b+c)(a(b+1)+b(c+1)+a(c+1))}=\sqrt{3(3+ab+ac+bc)}\leq \sqrt{3(3+\frac{(a+b+c)^2}{3})} =\sqrt{18}$$
Nên:
$\frac{(a+b+c)^2}{a\sqrt{b+1}+b\sqrt{c+1}+c\sqrt{a+1}} \geq \frac{3^2}{\sqrt{18}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$ (đpcm)
Dấu ''='' xảy ra khi $a=b=c=1$