Bđt

[tiendungst_1999]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho 3 số thực dương x,y,x. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

M=$\dfrac{x^2}{(2y+3z)(2z+3y)}+\dfrac{y^2}{(2z+3x)(2x+3z)}+\dfrac{z^2}{(2x+3y)(2y+3x)}$

 

[eye_smile]

Ta có:

$(2y+3z)(2z+3y) \le \dfrac{25(y+z)^2}{4}$

\Rightarrow $\dfrac{x^2}{(2y+3z)(2z+3y)} \ge \dfrac{4x^2}{25(y+z)^2}$

\Rightarrow $\sum \dfrac{x^2}{(2y+3z)(2z+3y)} \ge \sum \dfrac{4x^2}{25(y+z)^2}=\dfrac{4}{25}(\sum \dfrac{x^2}{(y+z)^2})$

Lại có:

$\dfrac{x^2}{(y+z)^2}+\dfrac{1}{4} \ge \dfrac{x}{y+z}$

\Rightarrow $\sum \dfrac{x^2}{(y+z)^2} \ge \sum \dfrac{x}{y+z} -\dfrac{3}{4} \ge \dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{4}$

\Rightarrow $\sum \dfrac{x^2}{(2y+3z)(2z+3y)} \ge \dfrac{4}{25}.\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{25}$